Solucionar (3x-4)^2-(x+3)^2=0

$$( 3 x - 4 ) ^ { 2 } - ( x + 3 ) ^ { 2 } = 0$$

Resolver para x

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3,5$$

Pasos para usar factorizar agrupando

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(3x-4\right)^{2}.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x+3\right)^{2}=0$$

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+3\right)^{2}.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x^{2}+6x+9\right)=0$$

Para calcular el opuesto de x^{2}+6x+9, calcule el opuesto de cada término.

$$9x^{2}-24x+16-x^{2}-6x-9=0$$

Combina 9x^{2} y -x^{2} para obtener 8x^{2}.

$$8x^{2}-24x+16-6x-9=0$$

Combina -24x y -6x para obtener -30x.

$$8x^{2}-30x+16-9=0$$

Resta 9 de 16 para obtener 7.

$$8x^{2}-30x+7=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como 8x^{2}+ax+bx+7. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=-30 ab=8\times 7=56$$

Dado que ab es positivo, a y b tienen el mismo signo. Dado que a+b es negativo, a y b son negativos. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto 56.

$$-1,-56 -2,-28 -4,-14 -7,-8$$

Calcule la suma de cada par.

$$-1-56=-57 -2-28=-30 -4-14=-18 -7-8=-15$$

La solución es el par que proporciona suma -30.

$$a=-28 b=-2$$

Vuelva a escribir 8x^{2}-30x+7 como \left(8x^{2}-28x\right)+\left(-2x+7\right).

$$\left(8x^{2}-28x\right)+\left(-2x+7\right)$$

Simplifica 4x en el primer grupo y -1 en el segundo.

$$4x\left(2x-7\right)-\left(2x-7\right)$$

Simplifica el término común 2x-7 con la propiedad distributiva.

$$\left(2x-7\right)\left(4x-1\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva 2x-7=0 y 4x-1=0.

$$x=\frac{7}{2} x=\frac{1}{4}$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(3x-4\right)^{2}.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x+3\right)^{2}=0$$

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+3\right)^{2}.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x^{2}+6x+9\right)=0$$

Para calcular el opuesto de x^{2}+6x+9, calcule el opuesto de cada término.

$$9x^{2}-24x+16-x^{2}-6x-9=0$$

Combina 9x^{2} y -x^{2} para obtener 8x^{2}.

$$8x^{2}-24x+16-6x-9=0$$

Combina -24x y -6x para obtener -30x.

$$8x^{2}-30x+16-9=0$$

Resta 9 de 16 para obtener 7.

$$8x^{2}-30x+7=0$$

Esta ecuación tiene un formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Sustituya 8 por a, -30 por b y 7 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 8\times 7}}{2\times 8}$$

Obtiene el cuadrado de -30.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 8\times 7}}{2\times 8}$$

Multiplica -4 por 8.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-32\times 7}}{2\times 8}$$

Multiplica -32 por 7.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-224}}{2\times 8}$$

Suma 900 y -224.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{676}}{2\times 8}$$

Toma la raíz cuadrada de 676.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±26}{2\times 8}$$

El opuesto de -30 es 30.

$$x=\frac{30±26}{2\times 8}$$

Multiplica 2 por 8.

$$x=\frac{30±26}{16}$$

Ahora resuelva la ecuación x=\frac{30±26}{16} cuando ± es más. Suma 30 y 26.

$$x=\frac{56}{16}$$

Reduzca la fracción \frac{56}{16} a su mínima expresión extrayendo y anulando 8.

$$x=\frac{7}{2}$$

Ahora resuelva la ecuación x=\frac{30±26}{16} cuando ± es menos. Resta 26 de 30.

$$x=\frac{4}{16}$$

Reduzca la fracción \frac{4}{16} a su mínima expresión extrayendo y anulando 4.

$$x=\frac{1}{4}$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=\frac{7}{2} x=\frac{1}{4}$$

Pasos para completar el cuadrado

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(3x-4\right)^{2}.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x+3\right)^{2}=0$$

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+3\right)^{2}.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x^{2}+6x+9\right)=0$$

Para calcular el opuesto de x^{2}+6x+9, calcule el opuesto de cada término.

$$9x^{2}-24x+16-x^{2}-6x-9=0$$

Combina 9x^{2} y -x^{2} para obtener 8x^{2}.

$$8x^{2}-24x+16-6x-9=0$$

Combina -24x y -6x para obtener -30x.

$$8x^{2}-30x+16-9=0$$

Resta 9 de 16 para obtener 7.

$$8x^{2}-30x+7=0$$

Resta 7 en los dos lados. Cualquier valor restado de cero da como resultado su valor negativo.

$$8x^{2}-30x=-7$$

Divide los dos lados por 8.

$$\frac{8x^{2}-30x}{8}=-\frac{7}{8}$$

Al dividir por 8, se deshace la multiplicación por 8.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{8}\right)x=-\frac{7}{8}$$

Reduzca la fracción \frac{-30}{8} a su mínima expresión extrayendo y anulando 2.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x=-\frac{7}{8}$$

Divida -\frac{15}{4}, el coeficiente del término x, por 2 para obtener -\frac{15}{8}. A continuación, agregue el cuadrado de -\frac{15}{8} a ambos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x+\left(-\frac{15}{8}\right)^{2}=-\frac{7}{8}+\left(-\frac{15}{8}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de -\frac{15}{8}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x+\frac{225}{64}=-\frac{7}{8}+\frac{225}{64}$$

Suma -\frac{7}{8} y \frac{225}{64}. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$x^{2}-\frac{15}{4}x+\frac{225}{64}=\frac{169}{64}$$

Factoriza x^{2}-\frac{15}{4}x+\frac{225}{64}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{8}\right)^{2}=\frac{169}{64}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{64}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{15}{8}=\frac{13}{8} x-\frac{15}{8}=-\frac{13}{8}$$

Suma \frac{15}{8} a los dos lados de la ecuación.

$$x=\frac{7}{2} x=\frac{1}{4}$$