Solucionar (3x+1)^2=9

$$( 3 x + 1 ) ^ { 2 } = 9$$

Resolver para x

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

$$x = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1,333333333$$

Pasos para usar factorizar agrupando

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(3x+1\right)^{2}.

$$9x^{2}+6x+1=9$$

Resta 9 en los dos lados.

$$9x^{2}+6x+1-9=0$$

Resta 9 de 1 para obtener -8.

$$9x^{2}+6x-8=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como 9x^{2}+ax+bx-8. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=6 ab=9\left(-8\right)=-72$$

Dado que ab es negativo, a y b tienen los signos opuestos. Como a+b es positivo, el número positivo tiene un valor absoluto mayor que el negativo. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto -72.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Calcule la suma de cada par.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

La solución es el par que proporciona suma 6.

$$a=-6 b=12$$

Vuelva a escribir 9x^{2}+6x-8 como \left(9x^{2}-6x\right)+\left(12x-8\right).

$$\left(9x^{2}-6x\right)+\left(12x-8\right)$$

Factoriza 3x en el primero y 4 en el segundo grupo.

$$3x\left(3x-2\right)+4\left(3x-2\right)$$

Simplifica el término común 3x-2 con la propiedad distributiva.

$$\left(3x-2\right)\left(3x+4\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva 3x-2=0 y 3x+4=0.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{4}{3}$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(3x+1\right)^{2}.

$$9x^{2}+6x+1=9$$

Resta 9 en los dos lados.

$$9x^{2}+6x+1-9=0$$

Resta 9 de 1 para obtener -8.

$$9x^{2}+6x-8=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace 9 por a, 6 por b y -8 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 9\left(-8\right)}}{2\times 9}$$

Obtiene el cuadrado de 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 9\left(-8\right)}}{2\times 9}$$

Multiplica -4 por 9.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-36\left(-8\right)}}{2\times 9}$$

Multiplica -36 por -8.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+288}}{2\times 9}$$

Suma 36 y 288.

$$x=\frac{-6±\sqrt{324}}{2\times 9}$$

Toma la raíz cuadrada de 324.

$$x=\frac{-6±18}{2\times 9}$$

Multiplica 2 por 9.

$$x=\frac{-6±18}{18}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-6±18}{18} dónde ± es más. Suma -6 y 18.

$$x=\frac{12}{18}$$

Reduzca la fracción \frac{12}{18} a su mínima expresión extrayendo y anulando 6.

$$x=\frac{2}{3}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-6±18}{18} dónde ± es menos. Resta 18 de -6.

$$x=-\frac{24}{18}$$

Reduzca la fracción \frac{-24}{18} a su mínima expresión extrayendo y anulando 6.

$$x=-\frac{4}{3}$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{4}{3}$$

Pasos para completar el cuadrado

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(3x+1\right)^{2}.

$$9x^{2}+6x+1=9$$

Resta 1 en los dos lados.

$$9x^{2}+6x=9-1$$

Resta 1 de 9 para obtener 8.

$$9x^{2}+6x=8$$

Divide los dos lados por 9.

$$\frac{9x^{2}+6x}{9}=\frac{8}{9}$$

Al dividir por 9, se deshace la multiplicación por 9.

$$x^{2}+\frac{6}{9}x=\frac{8}{9}$$

Reduzca la fracción \frac{6}{9} a su mínima expresión extrayendo y anulando 3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=\frac{8}{9}$$

Divida \frac{2}{3}, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener \frac{1}{3}. A continuación, agregue el cuadrado de \frac{1}{3} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{8}{9}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de \frac{1}{3}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{8+1}{9}$$

Suma \frac{8}{9} y \frac{1}{9}. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=1$$

Factor x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=1$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Simplifica.

$$x+\frac{1}{3}=1 x+\frac{1}{3}=-1$$

Resta \frac{1}{3} en los dos lados de la ecuación.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{4}{3}$$