Solucionar (3t-8)^2-16=0

$$( 3 t - 8 ) ^ { 2 } - 16 = 0$$

Resolver para t

$$t=4$$

$$t = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Pasos para usar factorizar agrupando

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(3t-8\right)^{2}.

$$9t^{2}-48t+64-16=0$$

Resta 16 de 64 para obtener 48.

$$9t^{2}-48t+48=0$$

Divide los dos lados por 3.

$$3t^{2}-16t+16=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como 3t^{2}+at+bt+16. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=-16 ab=3\times 16=48$$

Dado que ab es positivo, a y b tienen el mismo signo. Dado que a+b es negativo, a y b son negativos. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto 48.

$$-1,-48 -2,-24 -3,-16 -4,-12 -6,-8$$

Calcule la suma de cada par.

$$-1-48=-49 -2-24=-26 -3-16=-19 -4-12=-16 -6-8=-14$$

La solución es el par que proporciona suma -16.

$$a=-12 b=-4$$

Vuelva a escribir 3t^{2}-16t+16 como \left(3t^{2}-12t\right)+\left(-4t+16\right).

$$\left(3t^{2}-12t\right)+\left(-4t+16\right)$$

Factoriza 3t en el primero y -4 en el segundo grupo.

$$3t\left(t-4\right)-4\left(t-4\right)$$

Simplifica el término común t-4 con la propiedad distributiva.

$$\left(t-4\right)\left(3t-4\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva t-4=0 y 3t-4=0.

$$t=4 t=\frac{4}{3}$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(3t-8\right)^{2}.

$$9t^{2}-48t+64-16=0$$

Resta 16 de 64 para obtener 48.

$$9t^{2}-48t+48=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace 9 por a, -48 por b y 48 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{\left(-48\right)^{2}-4\times 9\times 48}}{2\times 9}$$

Obtiene el cuadrado de -48.

$$t=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-4\times 9\times 48}}{2\times 9}$$

Multiplica -4 por 9.

$$t=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-36\times 48}}{2\times 9}$$

Multiplica -36 por 48.

$$t=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-1728}}{2\times 9}$$

Suma 2304 y -1728.

$$t=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{576}}{2\times 9}$$

Toma la raíz cuadrada de 576.

$$t=\frac{-\left(-48\right)±24}{2\times 9}$$

El opuesto de -48 es 48.

$$t=\frac{48±24}{2\times 9}$$

Multiplica 2 por 9.

$$t=\frac{48±24}{18}$$

Ahora, resuelva la ecuación t=\frac{48±24}{18} dónde ± es más. Suma 48 y 24.

$$t=\frac{72}{18}$$

Divide 72 por 18.

$$t=4$$

Ahora, resuelva la ecuación t=\frac{48±24}{18} dónde ± es menos. Resta 24 de 48.

$$t=\frac{24}{18}$$

Reduzca la fracción \frac{24}{18} a su mínima expresión extrayendo y anulando 6.

$$t=\frac{4}{3}$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$t=4 t=\frac{4}{3}$$

Pasos para completar el cuadrado

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(3t-8\right)^{2}.

$$9t^{2}-48t+64-16=0$$

Resta 16 de 64 para obtener 48.

$$9t^{2}-48t+48=0$$

Resta 48 en los dos lados. Cualquier valor restado de cero da como resultado su valor negativo.

$$9t^{2}-48t=-48$$

Divide los dos lados por 9.

$$\frac{9t^{2}-48t}{9}=-\frac{48}{9}$$

Al dividir por 9, se deshace la multiplicación por 9.

$$t^{2}+\left(-\frac{48}{9}\right)t=-\frac{48}{9}$$

Reduzca la fracción \frac{-48}{9} a su mínima expresión extrayendo y anulando 3.

$$t^{2}-\frac{16}{3}t=-\frac{48}{9}$$

Reduzca la fracción \frac{-48}{9} a su mínima expresión extrayendo y anulando 3.

$$t^{2}-\frac{16}{3}t=-\frac{16}{3}$$

Divida -\frac{16}{3}, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener -\frac{8}{3}. A continuación, agregue el cuadrado de -\frac{8}{3} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$t^{2}-\frac{16}{3}t+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}=-\frac{16}{3}+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de -\frac{8}{3}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$t^{2}-\frac{16}{3}t+\frac{64}{9}=-\frac{16}{3}+\frac{64}{9}$$

Suma -\frac{16}{3} y \frac{64}{9}. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$t^{2}-\frac{16}{3}t+\frac{64}{9}=\frac{16}{9}$$

Factor t^{2}-\frac{16}{3}t+\frac{64}{9}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{16}{9}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(t-\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{9}}$$

Simplifica.

$$t-\frac{8}{3}=\frac{4}{3} t-\frac{8}{3}=-\frac{4}{3}$$

Suma \frac{8}{3} a los dos lados de la ecuación.

$$t=4 t=\frac{4}{3}$$