Solucionar (3+2y)^2+2y^2=3

$$( 3 + 2 y ) ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } = 3$$

Resolver para y

$$y=-1$$

Pasos para usar factorizar agrupando

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(3+2y\right)^{2}.

$$9+12y+4y^{2}+2y^{2}=3$$

Combina 4y^{2} y 2y^{2} para obtener 6y^{2}.

$$9+12y+6y^{2}=3$$

Resta 3 en los dos lados.

$$9+12y+6y^{2}-3=0$$

Resta 3 de 9 para obtener 6.

$$6+12y+6y^{2}=0$$

Divide los dos lados por 6.

$$1+2y+y^{2}=0$$

Cambia el polinomio para ponerlo en una forma estándar. Ordena los términos de mayor a menor según la potencia.

$$y^{2}+2y+1=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como y^{2}+ay+by+1. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=2 ab=1\times 1=1$$

Dado que ab es positivo, a y b tienen el mismo signo. Dado que a+b es positivo, a y b son positivos. El único par como este es la solución de sistema.

$$a=1 b=1$$

Vuelva a escribir y^{2}+2y+1 como \left(y^{2}+y\right)+\left(y+1\right).

$$\left(y^{2}+y\right)+\left(y+1\right)$$

Simplifica y en y^{2}+y.

$$y\left(y+1\right)+y+1$$

Simplifica el término común y+1 con la propiedad distributiva.

$$\left(y+1\right)\left(y+1\right)$$

Reescribe como el cuadrado de un binomio.

$$\left(y+1\right)^{2}$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva y+1=0.

$$y=-1$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(3+2y\right)^{2}.

$$9+12y+4y^{2}+2y^{2}=3$$

Combina 4y^{2} y 2y^{2} para obtener 6y^{2}.

$$9+12y+6y^{2}=3$$

Resta 3 en los dos lados.

$$9+12y+6y^{2}-3=0$$

Resta 3 de 9 para obtener 6.

$$6+12y+6y^{2}=0$$

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$6y^{2}+12y+6=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace 6 por a, 12 por b y 6 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 6\times 6}}{2\times 6}$$

Obtiene el cuadrado de 12.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 6\times 6}}{2\times 6}$$

Multiplica -4 por 6.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-24\times 6}}{2\times 6}$$

Multiplica -24 por 6.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-144}}{2\times 6}$$

Suma 144 y -144.

$$y=\frac{-12±\sqrt{0}}{2\times 6}$$

Toma la raíz cuadrada de 0.

$$y=-\frac{12}{2\times 6}$$

Multiplica 2 por 6.

$$y=-\frac{12}{12}$$

Divide -12 por 12.

$$y=-1$$

Pasos para completar el cuadrado

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(3+2y\right)^{2}.

$$9+12y+4y^{2}+2y^{2}=3$$

Combina 4y^{2} y 2y^{2} para obtener 6y^{2}.

$$9+12y+6y^{2}=3$$

Resta 9 en los dos lados.

$$12y+6y^{2}=3-9$$

Resta 9 de 3 para obtener -6.

$$12y+6y^{2}=-6$$

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$6y^{2}+12y=-6$$

Divide los dos lados por 6.

$$\frac{6y^{2}+12y}{6}=-\frac{6}{6}$$

Al dividir por 6, se deshace la multiplicación por 6.

$$y^{2}+\frac{12}{6}y=-\frac{6}{6}$$

Divide 12 por 6.

$$y^{2}+2y=-\frac{6}{6}$$

Divide -6 por 6.

$$y^{2}+2y=-1$$

Divida 2, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener 1. A continuación, agregue el cuadrado de 1 a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$y^{2}+2y+1^{2}=-1+1^{2}$$

Obtiene el cuadrado de 1.

$$y^{2}+2y+1=-1+1$$

Suma -1 y 1.

$$y^{2}+2y+1=0$$

Factor y^{2}+2y+1. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+1\right)^{2}=0$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(y+1\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplifica.

$$y+1=0 y+1=0$$

Resta 1 en los dos lados de la ecuación.

$$y=-1 y=-1$$

La ecuación ahora está resuelta. Las soluciones son las mismas.

$$y=-1$$