Solucionar (3+7x-5/x^2-x-2-3x/x+1):4/x-2+5/x+3=frac{9x^2+43x+8}{4(x^2+4x+3)}

$$( 3 + \frac { 7 x - 5 } { x ^ { 2 } - x - 2 } - \frac { 3 x } { x + 1 } ) : \frac { 4 } { x - 2 } + \frac { 5 } { x + 3 } = \frac { 9 x ^ { 2 } + 43 x + 8 } { 4 ( x ^ { 2 } + 4 x + 3 ) }$$

Resolver para x

$$x=7$$

Pasos de la solución

La variable x no puede ser igual a cualquiera de los valores -3,-1 ya que la división por cero no está definida. Multiplique ambos lados de la ecuación por 4\left(x+1\right)\left(x+3\right), el mínimo común denominador de x+3,4\left(x^{2}+4x+3\right).

$$\left(x+1\right)\left(x+3\right)\left(x-2\right)\left(3+\frac{7x-5}{x^{2}-x-2}-\frac{3x}{x+1}\right)+\left(4x+4\right)\times 5=9x^{2}+43x+8$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x+1 por x+3 y combinar términos semejantes.

$$\left(x^{2}+4x+3\right)\left(x-2\right)\left(3+\frac{7x-5}{x^{2}-x-2}-\frac{3x}{x+1}\right)+\left(4x+4\right)\times 5=9x^{2}+43x+8$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x^{2}+4x+3 por x-2 y combinar términos semejantes.

$$\left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\left(3+\frac{7x-5}{x^{2}-x-2}-\frac{3x}{x+1}\right)+\left(4x+4\right)\times 5=9x^{2}+43x+8$$

Factorice x^{2}-x-2.

$$\left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\left(3+\frac{7x-5}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}-\frac{3x}{x+1}\right)+\left(4x+4\right)\times 5=9x^{2}+43x+8$$

Para sumar o restar expresiones, expándalas para que sus denominadores sean iguales. Multiplica 3 por \frac{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}.

$$\left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\left(\frac{3\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}+\frac{7x-5}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}-\frac{3x}{x+1}\right)+\left(4x+4\right)\times 5=9x^{2}+43x+8$$

Como \frac{3\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} y \frac{7x-5}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} tienen el mismo denominador, sume sus numeradores para sumarlos.

$$\left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\left(\frac{3\left(x-2\right)\left(x+1\right)+7x-5}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}-\frac{3x}{x+1}\right)+\left(4x+4\right)\times 5=9x^{2}+43x+8$$

Haga las multiplicaciones en 3\left(x-2\right)\left(x+1\right)+7x-5.

$$\left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\left(\frac{3x^{2}+3x-6x-6+7x-5}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}-\frac{3x}{x+1}\right)+\left(4x+4\right)\times 5=9x^{2}+43x+8$$

Combine los términos semejantes en 3x^{2}+3x-6x-6+7x-5.

$$\left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\left(\frac{3x^{2}+4x-11}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}-\frac{3x}{x+1}\right)+\left(4x+4\right)\times 5=9x^{2}+43x+8$$

Para sumar o restar expresiones, expándalas para que sus denominadores sean iguales. El mínimo común múltiplo de \left(x-2\right)\left(x+1\right) y x+1 es \left(x-2\right)\left(x+1\right). Multiplica \frac{3x}{x+1} por \frac{x-2}{x-2}.

$$\left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\left(\frac{3x^{2}+4x-11}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}-\frac{3x\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}\right)+\left(4x+4\right)\times 5=9x^{2}+43x+8$$

Como \frac{3x^{2}+4x-11}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} y \frac{3x\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} tienen el mismo denominador, reste sus numeradores para restarlos.

$$\left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\times \frac{3x^{2}+4x-11-3x\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}+\left(4x+4\right)\times 5=9x^{2}+43x+8$$

Haga las multiplicaciones en 3x^{2}+4x-11-3x\left(x-2\right).

$$\left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\times \frac{3x^{2}+4x-11-3x^{2}+6x}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}+\left(4x+4\right)\times 5=9x^{2}+43x+8$$

Combine los términos semejantes en 3x^{2}+4x-11-3x^{2}+6x.

$$\left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\times \frac{10x-11}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}+\left(4x+4\right)\times 5=9x^{2}+43x+8$$

Expresa \left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\times \frac{10x-11}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} como una única fracción.

$$\frac{\left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\left(10x-11\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}+\left(4x+4\right)\times 5=9x^{2}+43x+8$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 4x+4 por 5.

$$\frac{\left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\left(10x-11\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}+20x+20=9x^{2}+43x+8$$

Para sumar o restar expresiones, expándalas para que sus denominadores sean iguales. Multiplica 20x+20 por \frac{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}.

$$\frac{\left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\left(10x-11\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}+\frac{\left(20x+20\right)\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=9x^{2}+43x+8$$

Como \frac{\left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\left(10x-11\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} y \frac{\left(20x+20\right)\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} tienen el mismo denominador, sume sus numeradores para sumarlos.

$$\frac{\left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\left(10x-11\right)+\left(20x+20\right)\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=9x^{2}+43x+8$$

Haga las multiplicaciones en \left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\left(10x-11\right)+\left(20x+20\right)\left(x-2\right)\left(x+1\right).

$$\frac{10x^{4}-11x^{3}+20x^{3}-22x^{2}-50x^{2}+55x-60x+66+20x^{3}-20x^{2}-40x+20x^{2}-20x-40}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=9x^{2}+43x+8$$

Combine los términos semejantes en 10x^{4}-11x^{3}+20x^{3}-22x^{2}-50x^{2}+55x-60x+66+20x^{3}-20x^{2}-40x+20x^{2}-20x-40.

$$\frac{10x^{4}+29x^{3}-72x^{2}-65x+26}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=9x^{2}+43x+8$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x-2 por x+1 y combinar términos semejantes.

$$\frac{10x^{4}+29x^{3}-72x^{2}-65x+26}{x^{2}-x-2}=9x^{2}+43x+8$$

Resta 9x^{2} en los dos lados.

$$\frac{10x^{4}+29x^{3}-72x^{2}-65x+26}{x^{2}-x-2}-9x^{2}=43x+8$$

Factorice x^{2}-x-2.

$$\frac{10x^{4}+29x^{3}-72x^{2}-65x+26}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}-9x^{2}=43x+8$$

Para sumar o restar expresiones, expándalas para que sus denominadores sean iguales. Multiplica -9x^{2} por \frac{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}.

$$\frac{10x^{4}+29x^{3}-72x^{2}-65x+26}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}+\frac{-9x^{2}\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=43x+8$$

Como \frac{10x^{4}+29x^{3}-72x^{2}-65x+26}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} y \frac{-9x^{2}\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} tienen el mismo denominador, sume sus numeradores para sumarlos.

$$\frac{10x^{4}+29x^{3}-72x^{2}-65x+26-9x^{2}\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=43x+8$$

Haga las multiplicaciones en 10x^{4}+29x^{3}-72x^{2}-65x+26-9x^{2}\left(x-2\right)\left(x+1\right).

$$\frac{10x^{4}+29x^{3}-72x^{2}-65x+26-9x^{4}-9x^{3}+18x^{3}+18x^{2}}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=43x+8$$

Combine los términos semejantes en 10x^{4}+29x^{3}-72x^{2}-65x+26-9x^{4}-9x^{3}+18x^{3}+18x^{2}.

$$\frac{x^{4}+38x^{3}-54x^{2}-65x+26}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=43x+8$$

Resta 43x en los dos lados.

$$\frac{x^{4}+38x^{3}-54x^{2}-65x+26}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}-43x=8$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x-2 por x+1 y combinar términos semejantes.

$$\frac{x^{4}+38x^{3}-54x^{2}-65x+26}{x^{2}-x-2}-43x=8$$

Factorice x^{2}-x-2.

$$\frac{x^{4}+38x^{3}-54x^{2}-65x+26}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}-43x=8$$

Para sumar o restar expresiones, expándalas para que sus denominadores sean iguales. Multiplica -43x por \frac{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}.

$$\frac{x^{4}+38x^{3}-54x^{2}-65x+26}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}+\frac{-43x\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=8$$

Como \frac{x^{4}+38x^{3}-54x^{2}-65x+26}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} y \frac{-43x\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} tienen el mismo denominador, sume sus numeradores para sumarlos.

$$\frac{x^{4}+38x^{3}-54x^{2}-65x+26-43x\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=8$$

Haga las multiplicaciones en x^{4}+38x^{3}-54x^{2}-65x+26-43x\left(x-2\right)\left(x+1\right).

$$\frac{x^{4}+38x^{3}-54x^{2}-65x+26-43x^{3}-43x^{2}+86x^{2}+86x}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=8$$

Combine los términos semejantes en x^{4}+38x^{3}-54x^{2}-65x+26-43x^{3}-43x^{2}+86x^{2}+86x.

$$\frac{x^{4}-5x^{3}-11x^{2}+21x+26}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=8$$

Resta 8 en los dos lados.

$$\frac{x^{4}-5x^{3}-11x^{2}+21x+26}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}-8=0$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x-2 por x+1 y combinar términos semejantes.

$$\frac{x^{4}-5x^{3}-11x^{2}+21x+26}{x^{2}-x-2}-8=0$$

Factorice x^{2}-x-2.

$$\frac{x^{4}-5x^{3}-11x^{2}+21x+26}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}-8=0$$

Para sumar o restar expresiones, expándalas para que sus denominadores sean iguales. Multiplica 8 por \frac{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}.

$$\frac{x^{4}-5x^{3}-11x^{2}+21x+26}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}-\frac{8\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=0$$

Como \frac{x^{4}-5x^{3}-11x^{2}+21x+26}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} y \frac{8\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} tienen el mismo denominador, reste sus numeradores para restarlos.

$$\frac{x^{4}-5x^{3}-11x^{2}+21x+26-8\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=0$$

Haga las multiplicaciones en x^{4}-5x^{3}-11x^{2}+21x+26-8\left(x-2\right)\left(x+1\right).

$$\frac{x^{4}-5x^{3}-11x^{2}+21x+26-8x^{2}-8x+16x+16}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=0$$

Combine los términos semejantes en x^{4}-5x^{3}-11x^{2}+21x+26-8x^{2}-8x+16x+16.

$$\frac{x^{4}-5x^{3}-19x^{2}+29x+42}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=0$$

La variable x no puede ser igual a cualquiera de los valores -1,2 ya que la división por cero no está definida. Multiplica los dos lados de la ecuación por \left(x-2\right)\left(x+1\right).

$$x^{4}-5x^{3}-19x^{2}+29x+42=0$$

Por Teorema de raíz racional, todas las raíces racionales de un polinomio tienen el formato \frac{p}{q}, donde p divide el término constante 42 y q divide el 1 del coeficiente inicial. Enumerar todos los candidatos \frac{p}{q}.

$$±42,±21,±14,±7,±6,±3,±2,±1$$

Busque una de estas raíces probando con todos los números enteros, empezando por el valor absoluto más pequeño. Si no encuentra ninguna raíz con número entero, pruebe con fracciones.

$$x=-1$$

Por factor teorema, x-k es un factor del polinómico para cada k raíz. Divide x^{4}-5x^{3}-19x^{2}+29x+42 entre x+1 para obtener x^{3}-6x^{2}-13x+42. Resuelva la ecuación en la que el resultado es 0.

$$x^{3}-6x^{2}-13x+42=0$$

Por Teorema de raíz racional, todas las raíces racionales de un polinomio tienen el formato \frac{p}{q}, donde p divide el término constante 42 y q divide el 1 del coeficiente inicial. Enumerar todos los candidatos \frac{p}{q}.

$$±42,±21,±14,±7,±6,±3,±2,±1$$

Busque una de estas raíces probando con todos los números enteros, empezando por el valor absoluto más pequeño. Si no encuentra ninguna raíz con número entero, pruebe con fracciones.

$$x=2$$

Por factor teorema, x-k es un factor del polinómico para cada k raíz. Divide x^{3}-6x^{2}-13x+42 entre x-2 para obtener x^{2}-4x-21. Resuelva la ecuación en la que el resultado es 0.

$$x^{2}-4x-21=0$$

Todas las ecuaciones del formulario ax^{2}+bx+c=0 pueden resolverse mediante la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sustituya 1 por a, -4 por b y -21 por c en la fórmula cuadrática.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 1\left(-21\right)}}{2}$$

Haga los cálculos.

$$x=\frac{4±10}{2}$$

Resuelva la ecuación x^{2}-4x-21=0 cuando ± sea más y cuando ± sea menos.

$$x=-3 x=7$$

Quite los valores a los que la variable no puede ser igual.

$$x=7$$

Mostrar todas las soluciones encontradas.

$$x=-1 x=2 x=-3 x=7$$

La variable x no puede ser igual a cualquiera de los valores -1,2,-3.

$$x=7$$