Solucionar (23-x)^2+x^2=17^2

$$( 23 - x ) ^ { 2 } + x ^ { 2 } = 17 ^ { 2 }$$

Resolver para x

$$x=8$$

$$x=15$$

Pasos para usar factorizar agrupando

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(23-x\right)^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Combina x^{2} y x^{2} para obtener 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Calcula 17 a la potencia de 2 y obtiene 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Resta 289 en los dos lados.

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

Resta 289 de 529 para obtener 240.

$$240-46x+2x^{2}=0$$

Divide los dos lados por 2.

$$120-23x+x^{2}=0$$

Cambia el polinomio para ponerlo en una forma estándar. Ordena los términos de mayor a menor según la potencia.

$$x^{2}-23x+120=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como x^{2}+ax+bx+120. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=-23 ab=1\times 120=120$$

Dado que ab es positivo, a y b tienen el mismo signo. Dado que a+b es negativo, a y b son negativos. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Calcule la suma de cada par.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

La solución es el par que proporciona suma -23.

$$a=-15 b=-8$$

Vuelva a escribir x^{2}-23x+120 como \left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right).

$$\left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right)$$

Factoriza x en el primero y -8 en el segundo grupo.

$$x\left(x-15\right)-8\left(x-15\right)$$

Simplifica el término común x-15 con la propiedad distributiva.

$$\left(x-15\right)\left(x-8\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva x-15=0 y x-8=0.

$$x=15 x=8$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(23-x\right)^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Combina x^{2} y x^{2} para obtener 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Calcula 17 a la potencia de 2 y obtiene 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Resta 289 en los dos lados.

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

Resta 289 de 529 para obtener 240.

$$240-46x+2x^{2}=0$$

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$2x^{2}-46x+240=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace 2 por a, -46 por b y 240 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{\left(-46\right)^{2}-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

Obtiene el cuadrado de -46.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

Multiplica -4 por 2.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-8\times 240}}{2\times 2}$$

Multiplica -8 por 240.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-1920}}{2\times 2}$$

Suma 2116 y -1920.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{196}}{2\times 2}$$

Toma la raíz cuadrada de 196.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±14}{2\times 2}$$

El opuesto de -46 es 46.

$$x=\frac{46±14}{2\times 2}$$

Multiplica 2 por 2.

$$x=\frac{46±14}{4}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{46±14}{4} dónde ± es más. Suma 46 y 14.

$$x=\frac{60}{4}$$

Divide 60 por 4.

$$x=15$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{46±14}{4} dónde ± es menos. Resta 14 de 46.

$$x=\frac{32}{4}$$

Divide 32 por 4.

$$x=8$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=15 x=8$$

Pasos para completar el cuadrado

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(23-x\right)^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Combina x^{2} y x^{2} para obtener 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Calcula 17 a la potencia de 2 y obtiene 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Resta 529 en los dos lados.

$$-46x+2x^{2}=289-529$$

Resta 529 de 289 para obtener -240.

$$-46x+2x^{2}=-240$$

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-46x=-240$$

Divide los dos lados por 2.

$$\frac{2x^{2}-46x}{2}=-\frac{240}{2}$$

Al dividir por 2, se deshace la multiplicación por 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{46}{2}\right)x=-\frac{240}{2}$$

Divide -46 por 2.

$$x^{2}-23x=-\frac{240}{2}$$

Divide -240 por 2.

$$x^{2}-23x=-120$$

Divida -23, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener -\frac{23}{2}. A continuación, agregue el cuadrado de -\frac{23}{2} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$x^{2}-23x+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}=-120+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de -\frac{23}{2}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=-120+\frac{529}{4}$$

Suma -120 y \frac{529}{4}.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=\frac{49}{4}$$

Factor x^{2}-23x+\frac{529}{4}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{23}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{23}{2}=-\frac{7}{2}$$

Suma \frac{23}{2} a los dos lados de la ecuación.

$$x=15 x=8$$