Solucionar (22+51x-10x^2)_{max}

$$( 22 + 51 x - 10 x ^ { 2 } ) _ { \max }$$

Factorizar

$$-\left(2x-11\right)\left(5x+2\right)$$

Pasos de la solución

Cambia el polinomio para ponerlo en una forma estándar. Ordena los términos de mayor a menor según la potencia.

$$-10x^{2}+51x+22$$

Factoriza la expresión agrupando. Primero, es necesario volver a escribir la expresión como -10x^{2}+ax+bx+22. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=51 ab=-10\times 22=-220$$

Dado que ab es negativo, a y b tienen los signos opuestos. Como a+b es positivo, el número positivo tiene un valor absoluto mayor que el negativo. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto -220.

$$-1,220 -2,110 -4,55 -5,44 -10,22 -11,20$$

Calcule la suma de cada par.

$$-1+220=219 -2+110=108 -4+55=51 -5+44=39 -10+22=12 -11+20=9$$

La solución es el par que proporciona suma 51.

$$a=55 b=-4$$

Vuelva a escribir -10x^{2}+51x+22 como \left(-10x^{2}+55x\right)+\left(-4x+22\right).

$$\left(-10x^{2}+55x\right)+\left(-4x+22\right)$$

Factoriza -5x en el primero y -2 en el segundo grupo.

$$-5x\left(2x-11\right)-2\left(2x-11\right)$$

Simplifica el término común 2x-11 con la propiedad distributiva.

$$\left(2x-11\right)\left(-5x-2\right)$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Puede factorizar el polinomio cuadrático utilizando la transformación ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), donde x_{1} y x_{2} son las soluciones de la ecuación cuadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$-10x^{2}+51x+22=0$$

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$x=\frac{-51±\sqrt{51^{2}-4\left(-10\right)\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

Obtiene el cuadrado de 51.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-4\left(-10\right)\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

Multiplica -4 por -10.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+40\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

Multiplica 40 por 22.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+880}}{2\left(-10\right)}$$

Suma 2601 y 880.

$$x=\frac{-51±\sqrt{3481}}{2\left(-10\right)}$$

Toma la raíz cuadrada de 3481.

$$x=\frac{-51±59}{2\left(-10\right)}$$

Multiplica 2 por -10.

$$x=\frac{-51±59}{-20}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-51±59}{-20} dónde ± es más. Suma -51 y 59.

$$x=\frac{8}{-20}$$

Reduzca la fracción \frac{8}{-20} a su mínima expresión extrayendo y anulando 4.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-51±59}{-20} dónde ± es menos. Resta 59 de -51.

$$x=-\frac{110}{-20}$$

Reduzca la fracción \frac{-110}{-20} a su mínima expresión extrayendo y anulando 10.

$$x=\frac{11}{2}$$

Factorice la expresión original con ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sustituya -\frac{2}{5} por x_{1} y \frac{11}{2} por x_{2}.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\left(x-\left(-\frac{2}{5}\right)\right)\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

Simplifica todas las expresiones con la forma p-\left(-q\right) a p+q.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\left(x+\frac{2}{5}\right)\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

Suma \frac{2}{5} y x. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{-5x-2}{-5}\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

Resta \frac{11}{2} de x. Para hacerlo, calcula un denominador común y resta los numeradores. Después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{-5x-2}{-5}\times \frac{-2x+11}{-2}$$

Multiplica \frac{-5x-2}{-5} por \frac{-2x+11}{-2}. Para hacerlo, multiplica el numerador por el numerador y el denominador por el denominador y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)}{-5\left(-2\right)}$$

Multiplica -5 por -2.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)}{10}$$

Cancela el máximo común divisor 10 en -10 y 10.

$$-10x^{2}+51x+22=-\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)$$

Calcular

$$22+51x-10x^{2}$$