Solucionar (2y-3)^2=y^2+4y+4?

$$( 2 y - 3 ) ^ { 2 } = y ^ { 2 } + 4 y + 4 ?$$

Resolver para y

$$y=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

$$y=5$$

Pasos para usar factorizar agrupando

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(2y-3\right)^{2}.

$$4y^{2}-12y+9=y^{2}+4y+4$$

Resta y^{2} en los dos lados.

$$4y^{2}-12y+9-y^{2}=4y+4$$

Combina 4y^{2} y -y^{2} para obtener 3y^{2}.

$$3y^{2}-12y+9=4y+4$$

Resta 4y en los dos lados.

$$3y^{2}-12y+9-4y=4$$

Combina -12y y -4y para obtener -16y.

$$3y^{2}-16y+9=4$$

Resta 4 en los dos lados.

$$3y^{2}-16y+9-4=0$$

Resta 4 de 9 para obtener 5.

$$3y^{2}-16y+5=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como 3y^{2}+ay+by+5. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=-16 ab=3\times 5=15$$

Dado que ab es positivo, a y b tienen el mismo signo. Dado que a+b es negativo, a y b son negativos. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto 15.

$$-1,-15 -3,-5$$

Calcule la suma de cada par.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

La solución es el par que proporciona suma -16.

$$a=-15 b=-1$$

Vuelva a escribir 3y^{2}-16y+5 como \left(3y^{2}-15y\right)+\left(-y+5\right).

$$\left(3y^{2}-15y\right)+\left(-y+5\right)$$

Factoriza 3y en el primero y -1 en el segundo grupo.

$$3y\left(y-5\right)-\left(y-5\right)$$

Simplifica el término común y-5 con la propiedad distributiva.

$$\left(y-5\right)\left(3y-1\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva y-5=0 y 3y-1=0.

$$y=5 y=\frac{1}{3}$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(2y-3\right)^{2}.

$$4y^{2}-12y+9=y^{2}+4y+4$$

Resta y^{2} en los dos lados.

$$4y^{2}-12y+9-y^{2}=4y+4$$

Combina 4y^{2} y -y^{2} para obtener 3y^{2}.

$$3y^{2}-12y+9=4y+4$$

Resta 4y en los dos lados.

$$3y^{2}-12y+9-4y=4$$

Combina -12y y -4y para obtener -16y.

$$3y^{2}-16y+9=4$$

Resta 4 en los dos lados.

$$3y^{2}-16y+9-4=0$$

Resta 4 de 9 para obtener 5.

$$3y^{2}-16y+5=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace 3 por a, -16 por b y 5 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Obtiene el cuadrado de -16.

$$y=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Multiplica -4 por 3.

$$y=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-12\times 5}}{2\times 3}$$

Multiplica -12 por 5.

$$y=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-60}}{2\times 3}$$

Suma 256 y -60.

$$y=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Toma la raíz cuadrada de 196.

$$y=\frac{-\left(-16\right)±14}{2\times 3}$$

El opuesto de -16 es 16.

$$y=\frac{16±14}{2\times 3}$$

Multiplica 2 por 3.

$$y=\frac{16±14}{6}$$

Ahora, resuelva la ecuación y=\frac{16±14}{6} dónde ± es más. Suma 16 y 14.

$$y=\frac{30}{6}$$

Divide 30 por 6.

$$y=5$$

Ahora, resuelva la ecuación y=\frac{16±14}{6} dónde ± es menos. Resta 14 de 16.

$$y=\frac{2}{6}$$

Reduzca la fracción \frac{2}{6} a su mínima expresión extrayendo y anulando 2.

$$y=\frac{1}{3}$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$y=5 y=\frac{1}{3}$$

Pasos para completar el cuadrado

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(2y-3\right)^{2}.

$$4y^{2}-12y+9=y^{2}+4y+4$$

Resta y^{2} en los dos lados.

$$4y^{2}-12y+9-y^{2}=4y+4$$

Combina 4y^{2} y -y^{2} para obtener 3y^{2}.

$$3y^{2}-12y+9=4y+4$$

Resta 4y en los dos lados.

$$3y^{2}-12y+9-4y=4$$

Combina -12y y -4y para obtener -16y.

$$3y^{2}-16y+9=4$$

Resta 9 en los dos lados.

$$3y^{2}-16y=4-9$$

Resta 9 de 4 para obtener -5.

$$3y^{2}-16y=-5$$

Divide los dos lados por 3.

$$\frac{3y^{2}-16y}{3}=-\frac{5}{3}$$

Al dividir por 3, se deshace la multiplicación por 3.

$$y^{2}-\frac{16}{3}y=-\frac{5}{3}$$

Divida -\frac{16}{3}, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener -\frac{8}{3}. A continuación, agregue el cuadrado de -\frac{8}{3} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$y^{2}-\frac{16}{3}y+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}=-\frac{5}{3}+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de -\frac{8}{3}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$y^{2}-\frac{16}{3}y+\frac{64}{9}=-\frac{5}{3}+\frac{64}{9}$$

Suma -\frac{5}{3} y \frac{64}{9}. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$y^{2}-\frac{16}{3}y+\frac{64}{9}=\frac{49}{9}$$

Factor y^{2}-\frac{16}{3}y+\frac{64}{9}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(y-\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Simplifica.

$$y-\frac{8}{3}=\frac{7}{3} y-\frac{8}{3}=-\frac{7}{3}$$

Suma \frac{8}{3} a los dos lados de la ecuación.

$$y=5 y=\frac{1}{3}$$