Solucionar (2x+4)^2-5x(7-3x)(7+3x)-(3x-2)^2-40x^2=-205

$$( 2 x + 4 ) ^ { 2 } - 5 x ( 7 - 3 x ) ( 7 + 3 x ) - ( 3 x - 2 ) ^ { 2 } - 40 x ^ { 2 } = - 205$$

Resolver para x

$$x = \frac{\sqrt{1085}}{15} \approx 2,195955879$$

$$x = -\frac{\sqrt{1085}}{15} \approx -2,195955879$$

$$x=1$$

Pasos de la solución

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(2x+4\right)^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(3x-2\right)^{2}-40x^{2}=-205$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(3x-2\right)^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(9x^{2}-12x+4\right)-40x^{2}=-205$$

Para calcular el opuesto de 9x^{2}-12x+4, calcule el opuesto de cada término.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-9x^{2}+12x-4-40x^{2}=-205$$

Combina -9x^{2} y -40x^{2} para obtener -49x^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4=-205$$

Agrega 205 a ambos lados.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4+205=0$$

Suma -4 y 205 para obtener 201.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar -5x por 7-3x.

$$4x^{2}+16x+16+\left(-35x+15x^{2}\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar -35x+15x^{2} por 7+3x y combinar términos semejantes.

$$4x^{2}+16x+16-245x+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

Combina 16x y -245x para obtener -229x.

$$4x^{2}-229x+16+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

Combina 4x^{2} y -49x^{2} para obtener -45x^{2}.

$$-45x^{2}-229x+16+45x^{3}+12x+201=0$$

Combina -229x y 12x para obtener -217x.

$$-45x^{2}-217x+16+45x^{3}+201=0$$

Suma 16 y 201 para obtener 217.

$$-45x^{2}-217x+217+45x^{3}=0$$

Cambia el orden de la ecuación para ponerla en una forma estándar. Ordena los términos de mayor a menor según la potencia.

$$45x^{3}-45x^{2}-217x+217=0$$

Por Teorema de raíz racional, todas las raíces racionales de un polinomio tienen el formato \frac{p}{q}, donde p divide el término constante 217 y q divide el 45 del coeficiente inicial. Enumerar todos los candidatos \frac{p}{q}.

$$±\frac{217}{45},±\frac{217}{15},±\frac{217}{9},±\frac{217}{5},±\frac{217}{3},±217,±\frac{31}{45},±\frac{31}{15},±\frac{31}{9},±\frac{31}{5},±\frac{31}{3},±31,±\frac{7}{45},±\frac{7}{15},±\frac{7}{9},±\frac{7}{5},±\frac{7}{3},±7,±\frac{1}{45},±\frac{1}{15},±\frac{1}{9},±\frac{1}{5},±\frac{1}{3},±1$$

Busque una de estas raíces probando con todos los números enteros, empezando por el valor absoluto más pequeño. Si no encuentra ninguna raíz con número entero, pruebe con fracciones.

$$x=1$$

Por factor teorema, x-k es un factor del polinómico para cada k raíz. Divide 45x^{3}-45x^{2}-217x+217 entre x-1 para obtener 45x^{2}-217. Resuelva la ecuación en la que el resultado es 0.

$$45x^{2}-217=0$$

Todas las ecuaciones del formulario ax^{2}+bx+c=0 pueden resolverse mediante la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sustituya 45 por a, 0 por b y -217 por c en la fórmula cuadrática.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 45\left(-217\right)}}{2\times 45}$$

Haga los cálculos.

$$x=\frac{0±6\sqrt{1085}}{90}$$

Resuelva la ecuación 45x^{2}-217=0 cuando ± sea más y cuando ± sea menos.

$$x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$

Mostrar todas las soluciones encontradas.

$$x=1 x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$