Solucionar (2x+3)(x^2-16)+(x-4)(x+40)=2(x-4)(x^2-16)

$$( 2 x + 3 ) ( x ^ { 2 } - 16 ) + ( x - 4 ) ( x + 40 ) = 2 ( x - 4 ) ( x ^ { 2 } - 16 )$$

Resolver para x

$$x=-7$$

$$x=4$$

Pasos para usar factorizar agrupando

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 2x+3 por x^{2}-16.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x-4 por x+40 y combinar términos semejantes.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Combina 3x^{2} y x^{2} para obtener 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Combina -32x y 36x para obtener 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Resta 160 de -48 para obtener -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 2 por x-4.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 2x-8 por x^{2}-16.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Resta 2x^{3} en los dos lados.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Combina 2x^{3} y -2x^{3} para obtener 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Agrega 32x a ambos lados.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Combina 4x y 32x para obtener 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Agrega 8x^{2} a ambos lados.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Combina 4x^{2} y 8x^{2} para obtener 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Resta 128 en los dos lados.

$$36x+12x^{2}-208-128=0$$

Resta 128 de -208 para obtener -336.

$$36x+12x^{2}-336=0$$

Divide los dos lados por 12.

$$3x+x^{2}-28=0$$

Cambia el polinomio para ponerlo en una forma estándar. Ordena los términos de mayor a menor según la potencia.

$$x^{2}+3x-28=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como x^{2}+ax+bx-28. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=3 ab=1\left(-28\right)=-28$$

Dado que ab es negativo, a y b tienen los signos opuestos. Como a+b es positivo, el número positivo tiene un valor absoluto mayor que el negativo. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto -28.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Calcule la suma de cada par.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

La solución es el par que proporciona suma 3.

$$a=-4 b=7$$

Vuelva a escribir x^{2}+3x-28 como \left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right)$$

Factoriza x en el primero y 7 en el segundo grupo.

$$x\left(x-4\right)+7\left(x-4\right)$$

Simplifica el término común x-4 con la propiedad distributiva.

$$\left(x-4\right)\left(x+7\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva x-4=0 y x+7=0.

$$x=4 x=-7$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 2x+3 por x^{2}-16.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x-4 por x+40 y combinar términos semejantes.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Combina 3x^{2} y x^{2} para obtener 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Combina -32x y 36x para obtener 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Resta 160 de -48 para obtener -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 2 por x-4.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 2x-8 por x^{2}-16.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Resta 2x^{3} en los dos lados.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Combina 2x^{3} y -2x^{3} para obtener 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Agrega 32x a ambos lados.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Combina 4x y 32x para obtener 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Agrega 8x^{2} a ambos lados.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Combina 4x^{2} y 8x^{2} para obtener 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Resta 128 en los dos lados.

$$36x+12x^{2}-208-128=0$$

Resta 128 de -208 para obtener -336.

$$36x+12x^{2}-336=0$$

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$12x^{2}+36x-336=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace 12 por a, 36 por b y -336 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 12\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Obtiene el cuadrado de 36.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 12\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Multiplica -4 por 12.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-48\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Multiplica -48 por -336.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296+16128}}{2\times 12}$$

Suma 1296 y 16128.

$$x=\frac{-36±\sqrt{17424}}{2\times 12}$$

Toma la raíz cuadrada de 17424.

$$x=\frac{-36±132}{2\times 12}$$

Multiplica 2 por 12.

$$x=\frac{-36±132}{24}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-36±132}{24} dónde ± es más. Suma -36 y 132.

$$x=\frac{96}{24}$$

Divide 96 por 24.

$$x=4$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-36±132}{24} dónde ± es menos. Resta 132 de -36.

$$x=-\frac{168}{24}$$

Divide -168 por 24.

$$x=-7$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=4 x=-7$$

Pasos para completar el cuadrado

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 2x+3 por x^{2}-16.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x-4 por x+40 y combinar términos semejantes.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Combina 3x^{2} y x^{2} para obtener 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Combina -32x y 36x para obtener 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Resta 160 de -48 para obtener -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 2 por x-4.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 2x-8 por x^{2}-16.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Resta 2x^{3} en los dos lados.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Combina 2x^{3} y -2x^{3} para obtener 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Agrega 32x a ambos lados.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Combina 4x y 32x para obtener 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Agrega 8x^{2} a ambos lados.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Combina 4x^{2} y 8x^{2} para obtener 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Agrega 208 a ambos lados.

$$36x+12x^{2}=128+208$$

Suma 128 y 208 para obtener 336.

$$36x+12x^{2}=336$$

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+36x=336$$

Divide los dos lados por 12.

$$\frac{12x^{2}+36x}{12}=\frac{336}{12}$$

Al dividir por 12, se deshace la multiplicación por 12.

$$x^{2}+\frac{36}{12}x=\frac{336}{12}$$

Divide 36 por 12.

$$x^{2}+3x=\frac{336}{12}$$

Divide 336 por 12.

$$x^{2}+3x=28$$

Divida 3, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener \frac{3}{2}. A continuación, agregue el cuadrado de \frac{3}{2} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de \frac{3}{2}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

Suma 28 y \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

Factor x^{2}+3x+\frac{9}{4}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

Resta \frac{3}{2} en los dos lados de la ecuación.

$$x=4 x=-7$$