Solucionar (2k-3)^2-4(3-2k)<0

$$( 2 k - 3 ) ^ { 2 } - 4 ( 3 - 2 k ) < 0$$

Resolver para k

$$k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(2k-3\right)^{2}.

$$4k^{2}-12k+9-4\left(3-2k\right)<0$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar -4 por 3-2k.

$$4k^{2}-12k+9-12+8k<0$$

Resta 12 de 9 para obtener -3.

$$4k^{2}-12k-3+8k<0$$

Combina -12k y 8k para obtener -4k.

$$4k^{2}-4k-3<0$$

Para resolver la desigualdad, factorice el lado izquierdo. Puede factorizar el polinomio cuadrático utilizando la transformación ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), donde x_{1} y x_{2} son las soluciones de la ecuación cuadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$4k^{2}-4k-3=0$$

Todas las ecuaciones del formulario ax^{2}+bx+c=0 pueden resolverse mediante la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sustituya 4 por a, -4 por b y -3 por c en la fórmula cuadrática.

$$k=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Haga los cálculos.

$$k=\frac{4±8}{8}$$

Resuelva la ecuación k=\frac{4±8}{8} cuando ± sea más y cuando ± sea menos.

$$k=\frac{3}{2} k=-\frac{1}{2}$$

Vuelva a escribir la desigualdad con las soluciones obtenidas.

$$4\left(k-\frac{3}{2}\right)\left(k+\frac{1}{2}\right)<0$$

Para que el producto sea negativo, k-\frac{3}{2} y k+\frac{1}{2} deben tener signos opuestos. Considere el caso cuando k-\frac{3}{2} es positivo y k+\frac{1}{2} es negativo.

$$k-\frac{3}{2}>0 k+\frac{1}{2}<0$$

Esto es falso para cualquier k.

$$k\in \emptyset$$

Considere el caso cuando k+\frac{1}{2} es positivo y k-\frac{3}{2} es negativo.

$$k+\frac{1}{2}>0 k-\frac{3}{2}<0$$

La solución que cumple con las desigualdades es k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right).

$$k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$$

La solución final es la Unión de las soluciones obtenidas.

$$k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$$