Solucionar (100)^2+(x+100)^2=(2x+100)^2

$$( 100 ) ^ { 2 } + ( x + 100 ) ^ { 2 } = ( 2 x + 100 ) ^ { 2 }$$

Resolver para x

$$x = \frac{100}{3} = 33\frac{1}{3} \approx 33,333333333$$

$$x=-100$$

Pasos para usar factorizar agrupando

Calcula 100 a la potencia de 2 y obtiene 10000.

$$10000+\left(x+100\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+100\right)^{2}.

$$10000+x^{2}+200x+10000=\left(2x+100\right)^{2}$$

Suma 10000 y 10000 para obtener 20000.

$$20000+x^{2}+200x=\left(2x+100\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(2x+100\right)^{2}.

$$20000+x^{2}+200x=4x^{2}+400x+10000$$

Resta 4x^{2} en los dos lados.

$$20000+x^{2}+200x-4x^{2}=400x+10000$$

Combina x^{2} y -4x^{2} para obtener -3x^{2}.

$$20000-3x^{2}+200x=400x+10000$$

Resta 400x en los dos lados.

$$20000-3x^{2}+200x-400x=10000$$

Combina 200x y -400x para obtener -200x.

$$20000-3x^{2}-200x=10000$$

Resta 10000 en los dos lados.

$$20000-3x^{2}-200x-10000=0$$

Resta 10000 de 20000 para obtener 10000.

$$10000-3x^{2}-200x=0$$

Cambia el polinomio para ponerlo en una forma estándar. Ordena los términos de mayor a menor según la potencia.

$$-3x^{2}-200x+10000=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como -3x^{2}+ax+bx+10000. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=-200 ab=-3\times 10000=-30000$$

Dado que ab es negativo, a y b tienen los signos opuestos. Dado que a+b es negativa, el número negativo tiene un valor absoluto mayor que el positivo. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto -30000.

$$1,-30000 2,-15000 3,-10000 4,-7500 5,-6000 6,-5000 8,-3750 10,-3000 12,-2500 15,-2000 16,-1875 20,-1500 24,-1250 25,-1200 30,-1000 40,-750 48,-625 50,-600 60,-500 75,-400 80,-375 100,-300 120,-250 125,-240 150,-200$$

Calcule la suma de cada par.

$$1-30000=-29999 2-15000=-14998 3-10000=-9997 4-7500=-7496 5-6000=-5995 6-5000=-4994 8-3750=-3742 10-3000=-2990 12-2500=-2488 15-2000=-1985 16-1875=-1859 20-1500=-1480 24-1250=-1226 25-1200=-1175 30-1000=-970 40-750=-710 48-625=-577 50-600=-550 60-500=-440 75-400=-325 80-375=-295 100-300=-200 120-250=-130 125-240=-115 150-200=-50$$

La solución es el par que proporciona suma -200.

$$a=100 b=-300$$

Vuelva a escribir -3x^{2}-200x+10000 como \left(-3x^{2}+100x\right)+\left(-300x+10000\right).

$$\left(-3x^{2}+100x\right)+\left(-300x+10000\right)$$

Factoriza -x en el primero y -100 en el segundo grupo.

$$-x\left(3x-100\right)-100\left(3x-100\right)$$

Simplifica el término común 3x-100 con la propiedad distributiva.

$$\left(3x-100\right)\left(-x-100\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva 3x-100=0 y -x-100=0.

$$x=\frac{100}{3} x=-100$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Calcula 100 a la potencia de 2 y obtiene 10000.

$$10000+\left(x+100\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+100\right)^{2}.

$$10000+x^{2}+200x+10000=\left(2x+100\right)^{2}$$

Suma 10000 y 10000 para obtener 20000.

$$20000+x^{2}+200x=\left(2x+100\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(2x+100\right)^{2}.

$$20000+x^{2}+200x=4x^{2}+400x+10000$$

Resta 4x^{2} en los dos lados.

$$20000+x^{2}+200x-4x^{2}=400x+10000$$

Combina x^{2} y -4x^{2} para obtener -3x^{2}.

$$20000-3x^{2}+200x=400x+10000$$

Resta 400x en los dos lados.

$$20000-3x^{2}+200x-400x=10000$$

Combina 200x y -400x para obtener -200x.

$$20000-3x^{2}-200x=10000$$

Resta 10000 en los dos lados.

$$20000-3x^{2}-200x-10000=0$$

Resta 10000 de 20000 para obtener 10000.

$$10000-3x^{2}-200x=0$$

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$-3x^{2}-200x+10000=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace -3 por a, -200 por b y 10000 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{\left(-200\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 10000}}{2\left(-3\right)}$$

Obtiene el cuadrado de -200.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000-4\left(-3\right)\times 10000}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplica -4 por -3.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000+12\times 10000}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplica 12 por 10000.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000+120000}}{2\left(-3\right)}$$

Suma 40000 y 120000.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{160000}}{2\left(-3\right)}$$

Toma la raíz cuadrada de 160000.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±400}{2\left(-3\right)}$$

El opuesto de -200 es 200.

$$x=\frac{200±400}{2\left(-3\right)}$$

Multiplica 2 por -3.

$$x=\frac{200±400}{-6}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{200±400}{-6} dónde ± es más. Suma 200 y 400.

$$x=\frac{600}{-6}$$

Divide 600 por -6.

$$x=-100$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{200±400}{-6} dónde ± es menos. Resta 400 de 200.

$$x=-\frac{200}{-6}$$

Reduzca la fracción \frac{-200}{-6} a su mínima expresión extrayendo y anulando 2.

$$x=\frac{100}{3}$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=-100 x=\frac{100}{3}$$

Pasos para completar el cuadrado

Calcula 100 a la potencia de 2 y obtiene 10000.

$$10000+\left(x+100\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+100\right)^{2}.

$$10000+x^{2}+200x+10000=\left(2x+100\right)^{2}$$

Suma 10000 y 10000 para obtener 20000.

$$20000+x^{2}+200x=\left(2x+100\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(2x+100\right)^{2}.

$$20000+x^{2}+200x=4x^{2}+400x+10000$$

Resta 4x^{2} en los dos lados.

$$20000+x^{2}+200x-4x^{2}=400x+10000$$

Combina x^{2} y -4x^{2} para obtener -3x^{2}.

$$20000-3x^{2}+200x=400x+10000$$

Resta 400x en los dos lados.

$$20000-3x^{2}+200x-400x=10000$$

Combina 200x y -400x para obtener -200x.

$$20000-3x^{2}-200x=10000$$

Resta 20000 en los dos lados.

$$-3x^{2}-200x=10000-20000$$

Resta 20000 de 10000 para obtener -10000.

$$-3x^{2}-200x=-10000$$

Divide los dos lados por -3.

$$\frac{-3x^{2}-200x}{-3}=-\frac{10000}{-3}$$

Al dividir por -3, se deshace la multiplicación por -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{200}{-3}\right)x=-\frac{10000}{-3}$$

Divide -200 por -3.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=-\frac{10000}{-3}$$

Divide -10000 por -3.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{10000}{3}$$

Divida \frac{200}{3}, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener \frac{100}{3}. A continuación, agregue el cuadrado de \frac{100}{3} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{10000}{3}+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de \frac{100}{3}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{10000}{3}+\frac{10000}{9}$$

Suma \frac{10000}{3} y \frac{10000}{9}. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{40000}{9}$$

Factor x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{40000}{9}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{40000}{9}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{100}{3}=\frac{200}{3} x+\frac{100}{3}=-\frac{200}{3}$$

Resta \frac{100}{3} en los dos lados de la ecuación.

$$x=\frac{100}{3} x=-100$$