Solucionar (6/25+x)^2x=32

$$( \frac { 6 } { 25 + x } ) ^ { 2 } x = 32$$

Resolver para x (solución compleja)

$$x=\frac{-3\sqrt{791}i-391}{16}\approx -24,4375-5,273385416i$$

$$x=\frac{-391+3\sqrt{791}i}{16}\approx -24,4375+5,273385416i$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Para elevar \frac{6}{25+x} a una potencia, eleve el numerador y el denominador a la potencia y, a continuación, divida.

$$\frac{6^{2}}{\left(25+x\right)^{2}}x=32$$

Expresa \frac{6^{2}}{\left(25+x\right)^{2}}x como una única fracción.

$$\frac{6^{2}x}{\left(25+x\right)^{2}}=32$$

Calcula 6 a la potencia de 2 y obtiene 36.

$$\frac{36x}{\left(25+x\right)^{2}}=32$$

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(25+x\right)^{2}.

$$\frac{36x}{625+50x+x^{2}}=32$$

Resta 32 en los dos lados.

$$\frac{36x}{625+50x+x^{2}}-32=0$$

Factorice 625+50x+x^{2}.

$$\frac{36x}{\left(x+25\right)^{2}}-32=0$$

Para sumar o restar expresiones, expándalas para que sus denominadores sean iguales. Multiplica 32 por \frac{\left(x+25\right)^{2}}{\left(x+25\right)^{2}}.

$$\frac{36x}{\left(x+25\right)^{2}}-\frac{32\left(x+25\right)^{2}}{\left(x+25\right)^{2}}=0$$

Como \frac{36x}{\left(x+25\right)^{2}} y \frac{32\left(x+25\right)^{2}}{\left(x+25\right)^{2}} tienen el mismo denominador, reste sus numeradores para restarlos.

$$\frac{36x-32\left(x+25\right)^{2}}{\left(x+25\right)^{2}}=0$$

Haga las multiplicaciones en 36x-32\left(x+25\right)^{2}.

$$\frac{36x-32x^{2}-1600x-20000}{\left(x+25\right)^{2}}=0$$

Combine los términos semejantes en 36x-32x^{2}-1600x-20000.

$$\frac{-1564x-32x^{2}-20000}{\left(x+25\right)^{2}}=0$$

La variable x no puede ser igual a -25 ya que la división por cero no está definida. Multiplica los dos lados de la ecuación por \left(x+25\right)^{2}.

$$-1564x-32x^{2}-20000=0$$

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$-32x^{2}-1564x-20000=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace -32 por a, -1564 por b y -20000 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±\sqrt{\left(-1564\right)^{2}-4\left(-32\right)\left(-20000\right)}}{2\left(-32\right)}$$

Obtiene el cuadrado de -1564.

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±\sqrt{2446096-4\left(-32\right)\left(-20000\right)}}{2\left(-32\right)}$$

Multiplica -4 por -32.

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±\sqrt{2446096+128\left(-20000\right)}}{2\left(-32\right)}$$

Multiplica 128 por -20000.

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±\sqrt{2446096-2560000}}{2\left(-32\right)}$$

Suma 2446096 y -2560000.

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±\sqrt{-113904}}{2\left(-32\right)}$$

Toma la raíz cuadrada de -113904.

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±12\sqrt{791}i}{2\left(-32\right)}$$

El opuesto de -1564 es 1564.

$$x=\frac{1564±12\sqrt{791}i}{2\left(-32\right)}$$

Multiplica 2 por -32.

$$x=\frac{1564±12\sqrt{791}i}{-64}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{1564±12\sqrt{791}i}{-64} dónde ± es más. Suma 1564 y 12i\sqrt{791}.

$$x=\frac{1564+12\sqrt{791}i}{-64}$$

Divide 1564+12i\sqrt{791} por -64.

$$x=\frac{-3\sqrt{791}i-391}{16}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{1564±12\sqrt{791}i}{-64} dónde ± es menos. Resta 12i\sqrt{791} de 1564.

$$x=\frac{-12\sqrt{791}i+1564}{-64}$$

Divide 1564-12i\sqrt{791} por -64.

$$x=\frac{-391+3\sqrt{791}i}{16}$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=\frac{-3\sqrt{791}i-391}{16} x=\frac{-391+3\sqrt{791}i}{16}$$

Pasos para completar el cuadrado

Para elevar \frac{6}{25+x} a una potencia, eleve el numerador y el denominador a la potencia y, a continuación, divida.

$$\frac{6^{2}}{\left(25+x\right)^{2}}x=32$$

Expresa \frac{6^{2}}{\left(25+x\right)^{2}}x como una única fracción.

$$\frac{6^{2}x}{\left(25+x\right)^{2}}=32$$

Calcula 6 a la potencia de 2 y obtiene 36.

$$\frac{36x}{\left(25+x\right)^{2}}=32$$

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(25+x\right)^{2}.

$$\frac{36x}{625+50x+x^{2}}=32$$

La variable x no puede ser igual a -25 ya que la división por cero no está definida. Multiplica los dos lados de la ecuación por \left(x+25\right)^{2}.

$$36x=32\left(x+25\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+25\right)^{2}.

$$36x=32\left(x^{2}+50x+625\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 32 por x^{2}+50x+625.

$$36x=32x^{2}+1600x+20000$$

Resta 32x^{2} en los dos lados.

$$36x-32x^{2}=1600x+20000$$

Resta 1600x en los dos lados.

$$36x-32x^{2}-1600x=20000$$

Combina 36x y -1600x para obtener -1564x.

$$-1564x-32x^{2}=20000$$

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$-32x^{2}-1564x=20000$$

Divide los dos lados por -32.

$$\frac{-32x^{2}-1564x}{-32}=\frac{20000}{-32}$$

Al dividir por -32, se deshace la multiplicación por -32.

$$x^{2}+\left(-\frac{1564}{-32}\right)x=\frac{20000}{-32}$$

Reduzca la fracción \frac{-1564}{-32} a su mínima expresión extrayendo y anulando 4.

$$x^{2}+\frac{391}{8}x=\frac{20000}{-32}$$

Divide 20000 por -32.

$$x^{2}+\frac{391}{8}x=-625$$

Divida \frac{391}{8}, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener \frac{391}{16}. A continuación, agregue el cuadrado de \frac{391}{16} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$x^{2}+\frac{391}{8}x+\left(\frac{391}{16}\right)^{2}=-625+\left(\frac{391}{16}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de \frac{391}{16}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$x^{2}+\frac{391}{8}x+\frac{152881}{256}=-625+\frac{152881}{256}$$

Suma -625 y \frac{152881}{256}.

$$x^{2}+\frac{391}{8}x+\frac{152881}{256}=-\frac{7119}{256}$$

Factor x^{2}+\frac{391}{8}x+\frac{152881}{256}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{391}{16}\right)^{2}=-\frac{7119}{256}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{391}{16}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7119}{256}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{391}{16}=\frac{3\sqrt{791}i}{16} x+\frac{391}{16}=-\frac{3\sqrt{791}i}{16}$$

Resta \frac{391}{16} en los dos lados de la ecuación.

$$x=\frac{-391+3\sqrt{791}i}{16} x=\frac{-3\sqrt{791}i-391}{16}$$