Solucionar (-r^4/64r^7)^frac{2{3}}

$$( \frac { - r ^ { 4 } } { 64 r ^ { 7 } } ) ^ { \frac { 2 } { 3 } }$$

Calcular

$$\frac{1}{16r^{2}}$$

Pasos de la solución

Para elevar \frac{-r^{4}}{64r^{7}} a una potencia, eleve el numerador y el denominador a la potencia y, a continuación, divida.

$$\frac{\left(-r^{4}\right)^{\frac{2}{3}}}{\left(64r^{7}\right)^{\frac{2}{3}}}$$

Expande \left(64r^{7}\right)^{\frac{2}{3}}.

$$\frac{\left(-r^{4}\right)^{\frac{2}{3}}}{64^{\frac{2}{3}}\left(r^{7}\right)^{\frac{2}{3}}}$$

Para elevar una potencia a otra potencia, multiplique los exponentes. Multiplique 7 y \frac{2}{3} para obtener \frac{14}{3}.

$$\frac{\left(-r^{4}\right)^{\frac{2}{3}}}{64^{\frac{2}{3}}r^{\frac{14}{3}}}$$

Calcula 64 a la potencia de \frac{2}{3} y obtiene 16.

$$\frac{\left(-r^{4}\right)^{\frac{2}{3}}}{16r^{\frac{14}{3}}}$$

Expande \left(-r^{4}\right)^{\frac{2}{3}}.

$$\frac{\left(-1\right)^{\frac{2}{3}}\left(r^{4}\right)^{\frac{2}{3}}}{16r^{\frac{14}{3}}}$$

Para elevar una potencia a otra potencia, multiplique los exponentes. Multiplique 4 y \frac{2}{3} para obtener \frac{8}{3}.

$$\frac{\left(-1\right)^{\frac{2}{3}}r^{\frac{8}{3}}}{16r^{\frac{14}{3}}}$$

Calcula -1 a la potencia de \frac{2}{3} y obtiene 1.

$$\frac{1r^{\frac{8}{3}}}{16r^{\frac{14}{3}}}$$

Anula r^{\frac{8}{3}} tanto en el numerador como en el denominador.

$$\frac{1}{16r^{2}}$$

Diferenciar w.r.t. r

$$-\frac{1}{8r^{3}}$$

Pasos con regla de cadena

Si F es la composición de dos funciones diferenciables, f\left(u\right) y u=g\left(x\right). Es decir, si F\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right), entonces la derivada de F es la derivada de f en relación con u multiplicado por la derivada de g en relación con x, lo que es igual a \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(F)\left(x\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)\left(g\left(x\right)\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(g)\left(x\right).

$$\frac{2}{3}\times \left(\frac{-r^{4}}{64r^{7}}\right)^{\frac{2}{3}-1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(\frac{-r^{4}}{64r^{7}})$$

Para dos funciones diferenciables, la derivada del cociente de dos funciones es el denominador multiplicado por la derivada del numerador, menos el numerador multiplicado por la derivada del denominador, todo ello dividido por el cuadrado del denominador.

$$\frac{\frac{2}{3}\times \left(\frac{-r^{4}}{64r^{7}}\right)^{\frac{2}{3}-1}\left(64r^{7}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(-r^{4})-\left(-r^{4}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(64r^{7})\right)\right)}{\left(64r^{7}\right)^{2}}$$

La derivada de un polinomio es la suma de las derivadas de sus términos. La derivada de cualquier término constante es 0. La derivada de ax^{n} es nax^{n-1}.

$$\frac{\frac{2}{3}\times \left(\frac{-r^{4}}{64r^{7}}\right)^{\frac{2}{3}-1}\left(64r^{7}\times 4\left(-1\right)r^{4-1}-\left(-r^{4}\times 7\times 64r^{7-1}\right)\right)}{\left(64r^{7}\right)^{2}}$$

Multiplica 64r^{7} por 4\left(-1\right)r^{4-1}.

$$\frac{\frac{2}{3}\times \left(\frac{-r^{4}}{64r^{7}}\right)^{-\frac{1}{3}}\left(-256r^{7}r^{3}-\left(-r^{4}\times 7\times 64r^{7-1}\right)\right)}{\left(64r^{7}\right)^{2}}$$

Multiplica -r^{4} por 7\times 64r^{7-1}.

$$\frac{\frac{2}{3}\times \left(\frac{-r^{4}}{64r^{7}}\right)^{-\frac{1}{3}}\left(-256r^{10}-\left(-448r^{4}r^{6}\right)\right)}{\left(64r^{7}\right)^{2}}$$

Simplifica.

$$\frac{\frac{2}{3}\times \left(\frac{-r^{4}}{64r^{7}}\right)^{-\frac{1}{3}}\left(-256r^{10}-\left(-448r^{10}\right)\right)}{\left(64r^{7}\right)^{2}}$$