Solucionar y^2-15y=-54

$${ y }^{ 2 } -15y=-54$$

Resolver para y

$$y=6$$

$$y=9$$

Pasos para usar factorizar

Agrega 54 a ambos lados.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Para resolver la ecuación, factor y^{2}-15y+54 utilizar la fórmula y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=-15 ab=54$$

Dado que ab es positivo, a y b tienen el mismo signo. Dado que a+b es negativo, a y b son negativos. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto 54.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

Calcule la suma de cada par.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

La solución es el par que proporciona suma -15.

$$a=-9 b=-6$$

Vuelve a escribir la expresión factorizada \left(y+a\right)\left(y+b\right) con los valores obtenidos.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva y-9=0 y y-6=0.

$$y=9 y=6$$

Pasos para usar factorizar agrupando

Agrega 54 a ambos lados.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como y^{2}+ay+by+54. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=-15 ab=1\times 54=54$$

Dado que ab es positivo, a y b tienen el mismo signo. Dado que a+b es negativo, a y b son negativos. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto 54.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

Calcule la suma de cada par.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

La solución es el par que proporciona suma -15.

$$a=-9 b=-6$$

Vuelva a escribir y^{2}-15y+54 como \left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right).

$$\left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right)$$

Factoriza y en el primero y -6 en el segundo grupo.

$$y\left(y-9\right)-6\left(y-9\right)$$

Simplifica el término común y-9 con la propiedad distributiva.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva y-9=0 y y-6=0.

$$y=9 y=6$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$y^{2}-15y=-54$$

Suma 54 a los dos lados de la ecuación.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=-54-\left(-54\right)$$

Al restar -54 de su mismo valor, da como resultado 0.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=0$$

Resta -54 de 0.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace 1 por a, -15 por b y 54 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 54}}{2}$$

Obtiene el cuadrado de -15.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 54}}{2}$$

Multiplica -4 por 54.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-216}}{2}$$

Suma 225 y -216.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{9}}{2}$$

Toma la raíz cuadrada de 9.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±3}{2}$$

El opuesto de -15 es 15.

$$y=\frac{15±3}{2}$$

Ahora, resuelva la ecuación y=\frac{15±3}{2} dónde ± es más. Suma 15 y 3.

$$y=\frac{18}{2}$$

Divide 18 por 2.

$$y=9$$

Ahora, resuelva la ecuación y=\frac{15±3}{2} dónde ± es menos. Resta 3 de 15.

$$y=\frac{12}{2}$$

Divide 12 por 2.

$$y=6$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$y=9 y=6$$

Pasos para completar el cuadrado

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-15y=-54$$

Divida -15, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener -\frac{15}{2}. A continuación, agregue el cuadrado de -\frac{15}{2} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$y^{2}-15y+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-54+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de -\frac{15}{2}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=-54+\frac{225}{4}$$

Suma -54 y \frac{225}{4}.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=\frac{9}{4}$$

Factor y^{2}-15y+\frac{225}{4}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Simplifica.

$$y-\frac{15}{2}=\frac{3}{2} y-\frac{15}{2}=-\frac{3}{2}$$

Suma \frac{15}{2} a los dos lados de la ecuación.

$$y=9 y=6$$