Solucionar x^225+1

$${ x }^{ 225 } +1$$

Factorizar

$$\left(x+1\right)\left(x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\right)\left(x^{20}-x^{15}+x^{10}-x^{5}+1\right)\left(x^{50}-x^{25}+1\right)\left(x^{150}-x^{75}+1\right)$$

Pasos de la solución

Vuelva a escribir x^{225}+1 como \left(x^{75}\right)^{3}+1^{3}. La suma de los cubos se puede factorizar con la regla: a^{3}+b^{3}=\left(a+b\right)\left(a^{2}-ab+b^{2}\right).

$$\left(x^{75}+1\right)\left(x^{150}-x^{75}+1\right)$$

Piense en x^{75}+1. Vuelva a escribir x^{75}+1 como \left(x^{25}\right)^{3}+1^{3}. La suma de los cubos se puede factorizar con la regla: a^{3}+b^{3}=\left(a+b\right)\left(a^{2}-ab+b^{2}\right).

$$\left(x^{25}+1\right)\left(x^{50}-x^{25}+1\right)$$

Piense en x^{25}+1. Busque un factor de la forma x^{k}+m, donde x^{k} divide el monomio con el x^{25} de energía y m divide el factor de constante 1. Uno de estos factores es x^{5}+1. Factor polinómico dividiéndolo por este factor.

$$\left(x^{5}+1\right)\left(x^{20}-x^{15}+x^{10}-x^{5}+1\right)$$

Piense en x^{5}+1. Por Teorema de raíz racional, todas las raíces racionales de un polinomio tienen el formato \frac{p}{q}, donde p divide el término constante 1 y q divide el 1 del coeficiente inicial. Una raíz de este tipo es -1. Factor polinómico dividiéndolo por x+1.

$$\left(x+1\right)\left(x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\right)$$

Vuelva a escribir la expresión factorizada completa. No se factorizan los siguientes polinomios porque no tienen ninguna raíz racional: x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1,x^{20}-x^{15}+x^{10}-x^{5}+1,x^{50}-x^{25}+1,x^{150}-x^{75}+1.

$$\left(x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\right)\left(x+1\right)\left(x^{20}-x^{15}+x^{10}-x^{5}+1\right)\left(x^{50}-x^{25}+1\right)\left(x^{150}-x^{75}+1\right)$$

Calcular

$$x^{225}+1$$