Solucionar x^2-3x+1<0

$${ x }^{ 2 } -3x+1 < 0$$

Resolver para x

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Para resolver la desigualdad, factorice el lado izquierdo. Puede factorizar el polinomio cuadrático utilizando la transformación ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), donde x_{1} y x_{2} son las soluciones de la ecuación cuadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-3x+1=0$$

Todas las ecuaciones del formulario ax^{2}+bx+c=0 pueden resolverse mediante la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sustituya 1 por a, -3 por b y 1 por c en la fórmula cuadrática.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Haga los cálculos.

$$x=\frac{3±\sqrt{5}}{2}$$

Resuelva la ecuación x=\frac{3±\sqrt{5}}{2} cuando ± sea más y cuando ± sea menos.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Vuelva a escribir la desigualdad con las soluciones obtenidas.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)\left(x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)<0$$

Para que el producto sea negativo, x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} y x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} deben tener signos opuestos. Considere el caso cuando x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} es positivo y x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} es negativo.

$$x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}>0 x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}<0$$

Esto es falso para cualquier x.

$$x\in \emptyset$$

Considere el caso cuando x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} es positivo y x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} es negativo.

$$x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}<0$$

La solución que cumple con las desigualdades es x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right).

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

La solución final es la Unión de las soluciones obtenidas.

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$