Solucionar x^2-2x-1leq0

$${ x }^{ 2 } -2x-1 \leq 0$$

Resolver para x

$$x\in \begin{bmatrix}1-\sqrt{2},\sqrt{2}+1\end{bmatrix}$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Para resolver la desigualdad, factorice el lado izquierdo. Puede factorizar el polinomio cuadrático utilizando la transformación ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), donde x_{1} y x_{2} son las soluciones de la ecuación cuadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-2x-1=0$$

Todas las ecuaciones del formulario ax^{2}+bx+c=0 pueden resolverse mediante la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sustituya 1 por a, -2 por b y -1 por c en la fórmula cuadrática.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

Haga los cálculos.

$$x=\frac{2±2\sqrt{2}}{2}$$

Resuelva la ecuación x=\frac{2±2\sqrt{2}}{2} cuando ± sea más y cuando ± sea menos.

$$x=\sqrt{2}+1 x=1-\sqrt{2}$$

Vuelva a escribir la desigualdad con las soluciones obtenidas.

$$\left(x-\left(\sqrt{2}+1\right)\right)\left(x-\left(1-\sqrt{2}\right)\right)\leq 0$$

Para que el producto sea ≤0, uno de los valores x-\left(\sqrt{2}+1\right) y x-\left(1-\sqrt{2}\right) debe ser ≥0 y el otro debe ser ≤0. Considere el caso cuando x-\left(\sqrt{2}+1\right)\geq 0 y x-\left(1-\sqrt{2}\right)\leq 0.

$$x-\left(\sqrt{2}+1\right)\geq 0 x-\left(1-\sqrt{2}\right)\leq 0$$

Esto es falso para cualquier x.

$$x\in \emptyset$$

Considere el caso cuando x-\left(\sqrt{2}+1\right)\leq 0 y x-\left(1-\sqrt{2}\right)\geq 0.

$$x-\left(1-\sqrt{2}\right)\geq 0 x-\left(\sqrt{2}+1\right)\leq 0$$

La solución que cumple con las desigualdades es x\in \left[1-\sqrt{2},\sqrt{2}+1\right].

$$x\in \begin{bmatrix}1-\sqrt{2},\sqrt{2}+1\end{bmatrix}$$

La solución final es la Unión de las soluciones obtenidas.

$$x\in \begin{bmatrix}1-\sqrt{2},\sqrt{2}+1\end{bmatrix}$$