Solucionar x^2+left(5-xright)^2-16=2x(5-x)

$${ x }^{ 2 } + { \left(5-x \right) }^{ 2 } -16=2x(5-x)$$

Resolver para x

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4,5$$

Pasos para usar factorizar agrupando

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(5-x\right)^{2}.

$$x^{2}+25-10x+x^{2}-16=2x\left(5-x\right)$$

Combina x^{2} y x^{2} para obtener 2x^{2}.

$$2x^{2}+25-10x-16=2x\left(5-x\right)$$

Resta 16 de 25 para obtener 9.

$$2x^{2}+9-10x=2x\left(5-x\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 2x por 5-x.

$$2x^{2}+9-10x=10x-2x^{2}$$

Resta 10x en los dos lados.

$$2x^{2}+9-10x-10x=-2x^{2}$$

Combina -10x y -10x para obtener -20x.

$$2x^{2}+9-20x=-2x^{2}$$

Agrega 2x^{2} a ambos lados.

$$2x^{2}+9-20x+2x^{2}=0$$

Combina 2x^{2} y 2x^{2} para obtener 4x^{2}.

$$4x^{2}+9-20x=0$$

Cambia el polinomio para ponerlo en una forma estándar. Ordena los términos de mayor a menor según la potencia.

$$4x^{2}-20x+9=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como 4x^{2}+ax+bx+9. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=-20 ab=4\times 9=36$$

Dado que ab es positivo, a y b tienen el mismo signo. Dado que a+b es negativo, a y b son negativos. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto 36.

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

Calcule la suma de cada par.

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

La solución es el par que proporciona suma -20.

$$a=-18 b=-2$$

Vuelva a escribir 4x^{2}-20x+9 como \left(4x^{2}-18x\right)+\left(-2x+9\right).

$$\left(4x^{2}-18x\right)+\left(-2x+9\right)$$

Factoriza 2x en el primero y -1 en el segundo grupo.

$$2x\left(2x-9\right)-\left(2x-9\right)$$

Simplifica el término común 2x-9 con la propiedad distributiva.

$$\left(2x-9\right)\left(2x-1\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva 2x-9=0 y 2x-1=0.

$$x=\frac{9}{2} x=\frac{1}{2}$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(5-x\right)^{2}.

$$x^{2}+25-10x+x^{2}-16=2x\left(5-x\right)$$

Combina x^{2} y x^{2} para obtener 2x^{2}.

$$2x^{2}+25-10x-16=2x\left(5-x\right)$$

Resta 16 de 25 para obtener 9.

$$2x^{2}+9-10x=2x\left(5-x\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 2x por 5-x.

$$2x^{2}+9-10x=10x-2x^{2}$$

Resta 10x en los dos lados.

$$2x^{2}+9-10x-10x=-2x^{2}$$

Combina -10x y -10x para obtener -20x.

$$2x^{2}+9-20x=-2x^{2}$$

Agrega 2x^{2} a ambos lados.

$$2x^{2}+9-20x+2x^{2}=0$$

Combina 2x^{2} y 2x^{2} para obtener 4x^{2}.

$$4x^{2}+9-20x=0$$

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$4x^{2}-20x+9=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace 4 por a, -20 por b y 9 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Obtiene el cuadrado de -20.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Multiplica -4 por 4.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-16\times 9}}{2\times 4}$$

Multiplica -16 por 9.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-144}}{2\times 4}$$

Suma 400 y -144.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

Toma la raíz cuadrada de 256.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±16}{2\times 4}$$

El opuesto de -20 es 20.

$$x=\frac{20±16}{2\times 4}$$

Multiplica 2 por 4.

$$x=\frac{20±16}{8}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{20±16}{8} dónde ± es más. Suma 20 y 16.

$$x=\frac{36}{8}$$

Reduzca la fracción \frac{36}{8} a su mínima expresión extrayendo y anulando 4.

$$x=\frac{9}{2}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{20±16}{8} dónde ± es menos. Resta 16 de 20.

$$x=\frac{4}{8}$$

Reduzca la fracción \frac{4}{8} a su mínima expresión extrayendo y anulando 4.

$$x=\frac{1}{2}$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=\frac{9}{2} x=\frac{1}{2}$$

Pasos para completar el cuadrado

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(5-x\right)^{2}.

$$x^{2}+25-10x+x^{2}-16=2x\left(5-x\right)$$

Combina x^{2} y x^{2} para obtener 2x^{2}.

$$2x^{2}+25-10x-16=2x\left(5-x\right)$$

Resta 16 de 25 para obtener 9.

$$2x^{2}+9-10x=2x\left(5-x\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 2x por 5-x.

$$2x^{2}+9-10x=10x-2x^{2}$$

Resta 10x en los dos lados.

$$2x^{2}+9-10x-10x=-2x^{2}$$

Combina -10x y -10x para obtener -20x.

$$2x^{2}+9-20x=-2x^{2}$$

Agrega 2x^{2} a ambos lados.

$$2x^{2}+9-20x+2x^{2}=0$$

Combina 2x^{2} y 2x^{2} para obtener 4x^{2}.

$$4x^{2}+9-20x=0$$

Resta 9 en los dos lados. Cualquier valor restado de cero da como resultado su valor negativo.

$$4x^{2}-20x=-9$$

Divide los dos lados por 4.

$$\frac{4x^{2}-20x}{4}=-\frac{9}{4}$$

Al dividir por 4, se deshace la multiplicación por 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{20}{4}\right)x=-\frac{9}{4}$$

Divide -20 por 4.

$$x^{2}-5x=-\frac{9}{4}$$

Divida -5, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener -\frac{5}{2}. A continuación, agregue el cuadrado de -\frac{5}{2} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de -\frac{5}{2}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{-9+25}{4}$$

Suma -\frac{9}{4} y \frac{25}{4}. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=4$$

Factor x^{2}-5x+\frac{25}{4}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=4$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Simplifica.

$$x-\frac{5}{2}=2 x-\frac{5}{2}=-2$$

Suma \frac{5}{2} a los dos lados de la ecuación.

$$x=\frac{9}{2} x=\frac{1}{2}$$