Solucionar t^2-109t+900=0

$${ t }^{ 2 } -109t+900 = 0$$

Resolver para t

$$t=9$$

$$t=100$$

Pasos para usar factorizar

Para resolver la ecuación, factor t^{2}-109t+900 utilizar la fórmula t^{2}+\left(a+b\right)t+ab=\left(t+a\right)\left(t+b\right). Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=-109 ab=900$$

Dado que ab es positivo, a y b tienen el mismo signo. Dado que a+b es negativo, a y b son negativos. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto 900.

$$-1,-900 -2,-450 -3,-300 -4,-225 -5,-180 -6,-150 -9,-100 -10,-90 -12,-75 -15,-60 -18,-50 -20,-45 -25,-36 -30,-30$$

Calcule la suma de cada par.

$$-1-900=-901 -2-450=-452 -3-300=-303 -4-225=-229 -5-180=-185 -6-150=-156 -9-100=-109 -10-90=-100 -12-75=-87 -15-60=-75 -18-50=-68 -20-45=-65 -25-36=-61 -30-30=-60$$

La solución es el par que proporciona suma -109.

$$a=-100 b=-9$$

Vuelve a escribir la expresión factorizada \left(t+a\right)\left(t+b\right) con los valores obtenidos.

$$\left(t-100\right)\left(t-9\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva t-100=0 y t-9=0.

$$t=100 t=9$$

Pasos para usar factorizar agrupando

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como t^{2}+at+bt+900. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=-109 ab=1\times 900=900$$

Dado que ab es positivo, a y b tienen el mismo signo. Dado que a+b es negativo, a y b son negativos. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto 900.

$$-1,-900 -2,-450 -3,-300 -4,-225 -5,-180 -6,-150 -9,-100 -10,-90 -12,-75 -15,-60 -18,-50 -20,-45 -25,-36 -30,-30$$

Calcule la suma de cada par.

$$-1-900=-901 -2-450=-452 -3-300=-303 -4-225=-229 -5-180=-185 -6-150=-156 -9-100=-109 -10-90=-100 -12-75=-87 -15-60=-75 -18-50=-68 -20-45=-65 -25-36=-61 -30-30=-60$$

La solución es el par que proporciona suma -109.

$$a=-100 b=-9$$

Vuelva a escribir t^{2}-109t+900 como \left(t^{2}-100t\right)+\left(-9t+900\right).

$$\left(t^{2}-100t\right)+\left(-9t+900\right)$$

Simplifica t en el primer grupo y -9 en el segundo.

$$t\left(t-100\right)-9\left(t-100\right)$$

Simplifica el término común t-100 con la propiedad distributiva.

$$\left(t-100\right)\left(t-9\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva t-100=0 y t-9=0.

$$t=100 t=9$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$t^{2}-109t+900=0$$

Esta ecuación tiene un formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Sustituya 1 por a, -109 por b y 900 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-109\right)±\sqrt{\left(-109\right)^{2}-4\times 900}}{2}$$

Obtiene el cuadrado de -109.

$$t=\frac{-\left(-109\right)±\sqrt{11881-4\times 900}}{2}$$

Multiplica -4 por 900.

$$t=\frac{-\left(-109\right)±\sqrt{11881-3600}}{2}$$

Suma 11881 y -3600.

$$t=\frac{-\left(-109\right)±\sqrt{8281}}{2}$$

Toma la raíz cuadrada de 8281.

$$t=\frac{-\left(-109\right)±91}{2}$$

El opuesto de -109 es 109.

$$t=\frac{109±91}{2}$$

Ahora resuelva la ecuación t=\frac{109±91}{2} cuando ± es más. Suma 109 y 91.

$$t=\frac{200}{2}$$

Divide 200 por 2.

$$t=100$$

Ahora resuelva la ecuación t=\frac{109±91}{2} cuando ± es menos. Resta 91 de 109.

$$t=\frac{18}{2}$$

Divide 18 por 2.

$$t=9$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$t=100 t=9$$

Pasos para completar el cuadrado

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$t^{2}-109t+900=0$$

Resta 900 en los dos lados de la ecuación.

$$t^{2}-109t+900-900=-900$$

Al restar 900 de su mismo valor, da como resultado 0.

$$t^{2}-109t=-900$$

Divida -109, el coeficiente del término x, por 2 para obtener -\frac{109}{2}. A continuación, agregue el cuadrado de -\frac{109}{2} a ambos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$t^{2}-109t+\left(-\frac{109}{2}\right)^{2}=-900+\left(-\frac{109}{2}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de -\frac{109}{2}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$t^{2}-109t+\frac{11881}{4}=-900+\frac{11881}{4}$$

Suma -900 y \frac{11881}{4}.

$$t^{2}-109t+\frac{11881}{4}=\frac{8281}{4}$$

Factoriza t^{2}-109t+\frac{11881}{4}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{109}{2}\right)^{2}=\frac{8281}{4}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(t-\frac{109}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{8281}{4}}$$

Simplifica.

$$t-\frac{109}{2}=\frac{91}{2} t-\frac{109}{2}=-\frac{91}{2}$$

Suma \frac{109}{2} a los dos lados de la ecuación.

$$t=100 t=9$$