Solucionar left(x+14right)^2-left(x+11right)^2=left(x-6right)^2

$${ \left(x+14 \right) }^{ 2 } - { \left(x+11 \right) }^{ 2 } = { \left(x-6 \right) }^{ 2 }$$

Resolver para x

$$x=2\sqrt{30}+9\approx 19,95445115$$

$$x=9-2\sqrt{30}\approx -1,95445115$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+14\right)^{2}.

$$x^{2}+28x+196-\left(x+11\right)^{2}=\left(x-6\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+11\right)^{2}.

$$x^{2}+28x+196-\left(x^{2}+22x+121\right)=\left(x-6\right)^{2}$$

Para calcular el opuesto de x^{2}+22x+121, calcule el opuesto de cada término.

$$x^{2}+28x+196-x^{2}-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Combina x^{2} y -x^{2} para obtener 0.

$$28x+196-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Combina 28x y -22x para obtener 6x.

$$6x+196-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Resta 121 de 196 para obtener 75.

$$6x+75=\left(x-6\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-6\right)^{2}.

$$6x+75=x^{2}-12x+36$$

Resta x^{2} en los dos lados.

$$6x+75-x^{2}=-12x+36$$

Agrega 12x a ambos lados.

$$6x+75-x^{2}+12x=36$$

Combina 6x y 12x para obtener 18x.

$$18x+75-x^{2}=36$$

Resta 36 en los dos lados.

$$18x+75-x^{2}-36=0$$

Resta 36 de 75 para obtener 39.

$$18x+39-x^{2}=0$$

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$-x^{2}+18x+39=0$$

Esta ecuación tiene un formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Sustituya -1 por a, 18 por b y 39 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\left(-1\right)\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

Obtiene el cuadrado de 18.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\left(-1\right)\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica -4 por -1.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+4\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica 4 por 39.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+156}}{2\left(-1\right)}$$

Suma 324 y 156.

$$x=\frac{-18±\sqrt{480}}{2\left(-1\right)}$$

Toma la raíz cuadrada de 480.

$$x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica 2 por -1.

$$x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2}$$

Ahora resuelva la ecuación x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2} cuando ± es más. Suma -18 y 4\sqrt{30}.

$$x=\frac{4\sqrt{30}-18}{-2}$$

Divide -18+4\sqrt{30} por -2.

$$x=9-2\sqrt{30}$$

Ahora resuelva la ecuación x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2} cuando ± es menos. Resta 4\sqrt{30} de -18.

$$x=\frac{-4\sqrt{30}-18}{-2}$$

Divide -18-4\sqrt{30} por -2.

$$x=2\sqrt{30}+9$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=9-2\sqrt{30} x=2\sqrt{30}+9$$

Pasos para completar el cuadrado

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+14\right)^{2}.

$$x^{2}+28x+196-\left(x+11\right)^{2}=\left(x-6\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+11\right)^{2}.

$$x^{2}+28x+196-\left(x^{2}+22x+121\right)=\left(x-6\right)^{2}$$

Para calcular el opuesto de x^{2}+22x+121, calcule el opuesto de cada término.

$$x^{2}+28x+196-x^{2}-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Combina x^{2} y -x^{2} para obtener 0.

$$28x+196-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Combina 28x y -22x para obtener 6x.

$$6x+196-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Resta 121 de 196 para obtener 75.

$$6x+75=\left(x-6\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-6\right)^{2}.

$$6x+75=x^{2}-12x+36$$

Resta x^{2} en los dos lados.

$$6x+75-x^{2}=-12x+36$$

Agrega 12x a ambos lados.

$$6x+75-x^{2}+12x=36$$

Combina 6x y 12x para obtener 18x.

$$18x+75-x^{2}=36$$

Resta 75 en los dos lados.

$$18x-x^{2}=36-75$$

Resta 75 de 36 para obtener -39.

$$18x-x^{2}=-39$$

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+18x=-39$$

Divide los dos lados por -1.

$$\frac{-x^{2}+18x}{-1}=-\frac{39}{-1}$$

Al dividir por -1, se deshace la multiplicación por -1.

$$x^{2}+\frac{18}{-1}x=-\frac{39}{-1}$$

Divide 18 por -1.

$$x^{2}-18x=-\frac{39}{-1}$$

Divide -39 por -1.

$$x^{2}-18x=39$$

Divida -18, el coeficiente del término x, por 2 para obtener -9. A continuación, agregue el cuadrado de -9 a ambos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$x^{2}-18x+\left(-9\right)^{2}=39+\left(-9\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de -9.

$$x^{2}-18x+81=39+81$$

Suma 39 y 81.

$$x^{2}-18x+81=120$$

Factoriza x^{2}-18x+81. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-9\right)^{2}=120$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(x-9\right)^{2}}=\sqrt{120}$$

Simplifica.

$$x-9=2\sqrt{30} x-9=-2\sqrt{30}$$

Suma 9 a los dos lados de la ecuación.

$$x=2\sqrt{30}+9 x=9-2\sqrt{30}$$