Solucionar {left(05sqrt{3}xright)}^2+left(5-15xright)^2=left(1+xright)^2

$${ \left(05 \sqrt{ 3 } x \right) }^{ 2 } + { \left(5-15x \right) }^{ 2 } = { \left(1+x \right) }^{ 2 }$$

Resolver para x

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

$$x=\frac{3}{7}\approx 0,428571429$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Multiplica 0 y 5 para obtener 0.

$$\left(0\sqrt{3}x\right)^{2}+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Cualquier valor multiplicado por cero da como resultado cero.

$$0^{2}+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Calcula 0 a la potencia de 2 y obtiene 0.

$$0+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(5-15x\right)^{2}.

$$0+25-150x+225x^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Suma 0 y 25 para obtener 25.

$$25-150x+225x^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(1+x\right)^{2}.

$$25-150x+225x^{2}=1+2x+x^{2}$$

Resta 1 en los dos lados.

$$25-150x+225x^{2}-1=2x+x^{2}$$

Resta 1 de 25 para obtener 24.

$$24-150x+225x^{2}=2x+x^{2}$$

Resta 2x en los dos lados.

$$24-150x+225x^{2}-2x=x^{2}$$

Combina -150x y -2x para obtener -152x.

$$24-152x+225x^{2}=x^{2}$$

Resta x^{2} en los dos lados.

$$24-152x+225x^{2}-x^{2}=0$$

Combina 225x^{2} y -x^{2} para obtener 224x^{2}.

$$24-152x+224x^{2}=0$$

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$224x^{2}-152x+24=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace 224 por a, -152 por b y 24 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{\left(-152\right)^{2}-4\times 224\times 24}}{2\times 224}$$

Obtiene el cuadrado de -152.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{23104-4\times 224\times 24}}{2\times 224}$$

Multiplica -4 por 224.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{23104-896\times 24}}{2\times 224}$$

Multiplica -896 por 24.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{23104-21504}}{2\times 224}$$

Suma 23104 y -21504.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±\sqrt{1600}}{2\times 224}$$

Toma la raíz cuadrada de 1600.

$$x=\frac{-\left(-152\right)±40}{2\times 224}$$

El opuesto de -152 es 152.

$$x=\frac{152±40}{2\times 224}$$

Multiplica 2 por 224.

$$x=\frac{152±40}{448}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{152±40}{448} dónde ± es más. Suma 152 y 40.

$$x=\frac{192}{448}$$

Reduzca la fracción \frac{192}{448} a su mínima expresión extrayendo y anulando 64.

$$x=\frac{3}{7}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{152±40}{448} dónde ± es menos. Resta 40 de 152.

$$x=\frac{112}{448}$$

Reduzca la fracción \frac{112}{448} a su mínima expresión extrayendo y anulando 112.

$$x=\frac{1}{4}$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=\frac{3}{7} x=\frac{1}{4}$$

Pasos para completar el cuadrado

Multiplica 0 y 5 para obtener 0.

$$\left(0\sqrt{3}x\right)^{2}+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Cualquier valor multiplicado por cero da como resultado cero.

$$0^{2}+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Calcula 0 a la potencia de 2 y obtiene 0.

$$0+\left(5-15x\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(5-15x\right)^{2}.

$$0+25-150x+225x^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Suma 0 y 25 para obtener 25.

$$25-150x+225x^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(1+x\right)^{2}.

$$25-150x+225x^{2}=1+2x+x^{2}$$

Resta 2x en los dos lados.

$$25-150x+225x^{2}-2x=1+x^{2}$$

Combina -150x y -2x para obtener -152x.

$$25-152x+225x^{2}=1+x^{2}$$

Resta x^{2} en los dos lados.

$$25-152x+225x^{2}-x^{2}=1$$

Combina 225x^{2} y -x^{2} para obtener 224x^{2}.

$$25-152x+224x^{2}=1$$

Resta 25 en los dos lados.

$$-152x+224x^{2}=1-25$$

Resta 25 de 1 para obtener -24.

$$-152x+224x^{2}=-24$$

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$224x^{2}-152x=-24$$

Divide los dos lados por 224.

$$\frac{224x^{2}-152x}{224}=-\frac{24}{224}$$

Al dividir por 224, se deshace la multiplicación por 224.

$$x^{2}+\left(-\frac{152}{224}\right)x=-\frac{24}{224}$$

Reduzca la fracción \frac{-152}{224} a su mínima expresión extrayendo y anulando 8.

$$x^{2}-\frac{19}{28}x=-\frac{24}{224}$$

Reduzca la fracción \frac{-24}{224} a su mínima expresión extrayendo y anulando 8.

$$x^{2}-\frac{19}{28}x=-\frac{3}{28}$$

Divida -\frac{19}{28}, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener -\frac{19}{56}. A continuación, agregue el cuadrado de -\frac{19}{56} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{19}{28}x+\left(-\frac{19}{56}\right)^{2}=-\frac{3}{28}+\left(-\frac{19}{56}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de -\frac{19}{56}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$x^{2}-\frac{19}{28}x+\frac{361}{3136}=-\frac{3}{28}+\frac{361}{3136}$$

Suma -\frac{3}{28} y \frac{361}{3136}. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$x^{2}-\frac{19}{28}x+\frac{361}{3136}=\frac{25}{3136}$$

Factor x^{2}-\frac{19}{28}x+\frac{361}{3136}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{19}{56}\right)^{2}=\frac{25}{3136}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{56}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{3136}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{19}{56}=\frac{5}{56} x-\frac{19}{56}=-\frac{5}{56}$$

Suma \frac{19}{56} a los dos lados de la ecuación.

$$x=\frac{3}{7} x=\frac{1}{4}$$