Solucionar sqrt{x+3}+sqrt{x+6}=sqrt{x+11}

$$\sqrt{ x+3 } + \sqrt{ x+6 } = \sqrt{ x+11 }$$

Resolver para x

$$x=-2$$

Pasos de la solución

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x+3} a la potencia de 2 y obtiene x+3.

$$x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x+6} a la potencia de 2 y obtiene x+6.

$$x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+x+6=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Combina x y x para obtener 2x.

$$2x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+6=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Suma 3 y 6 para obtener 9.

$$2x+9+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x+11} a la potencia de 2 y obtiene x+11.

$$2x+9+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11$$

Resta 2x+9 en los dos lados de la ecuación.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11-\left(2x+9\right)$$

Para calcular el opuesto de 2x+9, calcule el opuesto de cada término.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11-2x-9$$

Combina x y -2x para obtener -x.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=-x+11-9$$

Resta 9 de 11 para obtener 2.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=-x+2$$

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Expande \left(2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}\right)^{2}.

$$2^{2}\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Calcula 2 a la potencia de 2 y obtiene 4.

$$4\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x+3} a la potencia de 2 y obtiene x+3.

$$4\left(x+3\right)\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x+6} a la potencia de 2 y obtiene x+6.

$$4\left(x+3\right)\left(x+6\right)=\left(-x+2\right)^{2}$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 4 por x+3.

$$\left(4x+12\right)\left(x+6\right)=\left(-x+2\right)^{2}$$

Aplicar la propiedad distributiva multiplicando cada término de 4x+12 por cada término de x+6.

$$4x^{2}+24x+12x+72=\left(-x+2\right)^{2}$$

Combina 24x y 12x para obtener 36x.

$$4x^{2}+36x+72=\left(-x+2\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(-x+2\right)^{2}.

$$4x^{2}+36x+72=x^{2}-4x+4$$

Resta x^{2} en los dos lados.

$$4x^{2}+36x+72-x^{2}=-4x+4$$

Combina 4x^{2} y -x^{2} para obtener 3x^{2}.

$$3x^{2}+36x+72=-4x+4$$

Agrega 4x a ambos lados.

$$3x^{2}+36x+72+4x=4$$

Combina 36x y 4x para obtener 40x.

$$3x^{2}+40x+72=4$$

Resta 4 en los dos lados.

$$3x^{2}+40x+72-4=0$$

Resta 4 de 72 para obtener 68.

$$3x^{2}+40x+68=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como 3x^{2}+ax+bx+68. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=40 ab=3\times 68=204$$

Dado que ab es positivo, a y b tienen el mismo signo. Dado que a+b es positivo, a y b son positivos. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto 204.

$$1,204 2,102 3,68 4,51 6,34 12,17$$

Calcule la suma de cada par.

$$1+204=205 2+102=104 3+68=71 4+51=55 6+34=40 12+17=29$$

La solución es el par que proporciona suma 40.

$$a=6 b=34$$

Vuelva a escribir 3x^{2}+40x+68 como \left(3x^{2}+6x\right)+\left(34x+68\right).

$$\left(3x^{2}+6x\right)+\left(34x+68\right)$$

Factoriza 3x en el primero y 34 en el segundo grupo.

$$3x\left(x+2\right)+34\left(x+2\right)$$

Simplifica el término común x+2 con la propiedad distributiva.

$$\left(x+2\right)\left(3x+34\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva x+2=0 y 3x+34=0.

$$x=-2 x=-\frac{34}{3}$$

Sustituya -\frac{34}{3} por x en la ecuación \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11}. No se ha definido la expresión \sqrt{-\frac{34}{3}+3} porque radicand no puede ser negativo.

$$\sqrt{-\frac{34}{3}+3}+\sqrt{-\frac{34}{3}+6}=\sqrt{-\frac{34}{3}+11}$$

Sustituya -2 por x en la ecuación \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11}.

$$\sqrt{-2+3}+\sqrt{-2+6}=\sqrt{-2+11}$$

Simplifica. El valor x=-2 satisface la ecuación.

$$3=3$$

La ecuación \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11} tiene una solución única.

$$x=-2$$