Solucionar sqrt{x+2}=x-4

$$\sqrt{ x+2 } = x-4$$

Resolver para x

$$x=7$$

Pasos de la solución

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}=\left(x-4\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x+2} a la potencia de 2 y obtiene x+2.

$$x+2=\left(x-4\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-4\right)^{2}.

$$x+2=x^{2}-8x+16$$

Resta x^{2} en los dos lados.

$$x+2-x^{2}=-8x+16$$

Agrega 8x a ambos lados.

$$x+2-x^{2}+8x=16$$

Combina x y 8x para obtener 9x.

$$9x+2-x^{2}=16$$

Resta 16 en los dos lados.

$$9x+2-x^{2}-16=0$$

Resta 16 de 2 para obtener -14.

$$9x-14-x^{2}=0$$

Cambia el polinomio para ponerlo en una forma estándar. Ordena los términos de mayor a menor según la potencia.

$$-x^{2}+9x-14=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como -x^{2}+ax+bx-14. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=9 ab=-\left(-14\right)=14$$

Dado que ab es positivo, a y b tienen el mismo signo. Dado que a+b es positivo, a y b son positivos. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto 14.

$$1,14 2,7$$

Calcule la suma de cada par.

$$1+14=15 2+7=9$$

La solución es el par que proporciona suma 9.

$$a=7 b=2$$

Vuelva a escribir -x^{2}+9x-14 como \left(-x^{2}+7x\right)+\left(2x-14\right).

$$\left(-x^{2}+7x\right)+\left(2x-14\right)$$

Factoriza -x en el primero y 2 en el segundo grupo.

$$-x\left(x-7\right)+2\left(x-7\right)$$

Simplifica el término común x-7 con la propiedad distributiva.

$$\left(x-7\right)\left(-x+2\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva x-7=0 y -x+2=0.

$$x=7 x=2$$

Sustituya 7 por x en la ecuación \sqrt{x+2}=x-4.

$$\sqrt{7+2}=7-4$$

Simplifica. El valor x=7 satisface la ecuación.

$$3=3$$

Sustituya 2 por x en la ecuación \sqrt{x+2}=x-4.

$$\sqrt{2+2}=2-4$$

Simplifica. El valor x=2 no cumple la ecuación porque la parte izquierda y la derecha tienen signos opuestos.

$$2=-2$$

La ecuación \sqrt{x+2}=x-4 tiene una solución única.

$$x=7$$