Solucionar sqrt{x+1}=x-5

$$\sqrt{ x+1 } = x-5$$

Resolver para x

$$x=8$$

Pasos de la solución

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(\sqrt{x+1}\right)^{2}=\left(x-5\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x+1} a la potencia de 2 y obtiene x+1.

$$x+1=\left(x-5\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-5\right)^{2}.

$$x+1=x^{2}-10x+25$$

Resta x^{2} en los dos lados.

$$x+1-x^{2}=-10x+25$$

Agrega 10x a ambos lados.

$$x+1-x^{2}+10x=25$$

Combina x y 10x para obtener 11x.

$$11x+1-x^{2}=25$$

Resta 25 en los dos lados.

$$11x+1-x^{2}-25=0$$

Resta 25 de 1 para obtener -24.

$$11x-24-x^{2}=0$$

Cambia el polinomio para ponerlo en una forma estándar. Ordena los términos de mayor a menor según la potencia.

$$-x^{2}+11x-24=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como -x^{2}+ax+bx-24. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=11 ab=-\left(-24\right)=24$$

Dado que ab es positivo, a y b tienen el mismo signo. Dado que a+b es positivo, a y b son positivos. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto 24.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

Calcule la suma de cada par.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

La solución es el par que proporciona suma 11.

$$a=8 b=3$$

Vuelva a escribir -x^{2}+11x-24 como \left(-x^{2}+8x\right)+\left(3x-24\right).

$$\left(-x^{2}+8x\right)+\left(3x-24\right)$$

Factoriza -x en el primero y 3 en el segundo grupo.

$$-x\left(x-8\right)+3\left(x-8\right)$$

Simplifica el término común x-8 con la propiedad distributiva.

$$\left(x-8\right)\left(-x+3\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva x-8=0 y -x+3=0.

$$x=8 x=3$$

Sustituya 8 por x en la ecuación \sqrt{x+1}=x-5.

$$\sqrt{8+1}=8-5$$

Simplifica. El valor x=8 satisface la ecuación.

$$3=3$$

Sustituya 3 por x en la ecuación \sqrt{x+1}=x-5.

$$\sqrt{3+1}=3-5$$

Simplifica. El valor x=3 no cumple la ecuación porque la parte izquierda y la derecha tienen signos opuestos.

$$2=-2$$

La ecuación \sqrt{x+1}=x-5 tiene una solución única.

$$x=8$$