Solucionar sqrt{x}=x-1

$$\sqrt{ x } =x-1$$

Resolver para x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 3}{2} \approx 2,618033989$$

Pasos de la solución

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(x-1\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x} a la potencia de 2 y obtiene x.

$$x=\left(x-1\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-1\right)^{2}.

$$x=x^{2}-2x+1$$

Resta x^{2} en los dos lados.

$$x-x^{2}=-2x+1$$

Agrega 2x a ambos lados.

$$x-x^{2}+2x=1$$

Combina x y 2x para obtener 3x.

$$3x-x^{2}=1$$

Resta 1 en los dos lados.

$$3x-x^{2}-1=0$$

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$-x^{2}+3x-1=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace -1 por a, 3 por b y -1 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Obtiene el cuadrado de 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica -4 por -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica 4 por -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4}}{2\left(-1\right)}$$

Suma 9 y -4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica 2 por -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2} dónde ± es más. Suma -3 y \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{-2}$$

Divide -3+\sqrt{5} por -2.

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2} dónde ± es menos. Resta \sqrt{5} de -3.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-3}{-2}$$

Divide -3-\sqrt{5} por -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

Sustituya \frac{3-\sqrt{5}}{2} por x en la ecuación \sqrt{x}=x-1.

$$\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}-1$$

Simplifica. El valor x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} no cumple la ecuación porque la parte izquierda y la derecha tienen signos opuestos.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}$$

Sustituya \frac{\sqrt{5}+3}{2} por x en la ecuación \sqrt{x}=x-1.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}=\frac{\sqrt{5}+3}{2}-1$$

Simplifica. El valor x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} satisface la ecuación.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

La ecuación \sqrt{x}=x-1 tiene una solución única.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$