Solucionar sqrt{6+sqrt{x+4}}=sqrt{2x-1}

$$\sqrt{ 6+ \sqrt{ x+4 } } = \sqrt{ 2x-1 }$$

Resolver para x

$$x=5$$

Pasos de la solución

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(\sqrt{6+\sqrt{x+4}}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{6+\sqrt{x+4}} a la potencia de 2 y obtiene 6+\sqrt{x+4}.

$$6+\sqrt{x+4}=\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{2x-1} a la potencia de 2 y obtiene 2x-1.

$$6+\sqrt{x+4}=2x-1$$

Resta 6 en los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{x+4}=2x-1-6$$

Resta 6 de -1 para obtener -7.

$$\sqrt{x+4}=2x-7$$

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(\sqrt{x+4}\right)^{2}=\left(2x-7\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x+4} a la potencia de 2 y obtiene x+4.

$$x+4=\left(2x-7\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(2x-7\right)^{2}.

$$x+4=4x^{2}-28x+49$$

Resta 4x^{2} en los dos lados.

$$x+4-4x^{2}=-28x+49$$

Agrega 28x a ambos lados.

$$x+4-4x^{2}+28x=49$$

Combina x y 28x para obtener 29x.

$$29x+4-4x^{2}=49$$

Resta 49 en los dos lados.

$$29x+4-4x^{2}-49=0$$

Resta 49 de 4 para obtener -45.

$$29x-45-4x^{2}=0$$

Cambia el polinomio para ponerlo en una forma estándar. Ordena los términos de mayor a menor según la potencia.

$$-4x^{2}+29x-45=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como -4x^{2}+ax+bx-45. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=29 ab=-4\left(-45\right)=180$$

Dado que ab es positivo, a y b tienen el mismo signo. Dado que a+b es positivo, a y b son positivos. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto 180.

$$1,180 2,90 3,60 4,45 5,36 6,30 9,20 10,18 12,15$$

Calcule la suma de cada par.

$$1+180=181 2+90=92 3+60=63 4+45=49 5+36=41 6+30=36 9+20=29 10+18=28 12+15=27$$

La solución es el par que proporciona suma 29.

$$a=20 b=9$$

Vuelva a escribir -4x^{2}+29x-45 como \left(-4x^{2}+20x\right)+\left(9x-45\right).

$$\left(-4x^{2}+20x\right)+\left(9x-45\right)$$

Factoriza 4x en el primero y -9 en el segundo grupo.

$$4x\left(-x+5\right)-9\left(-x+5\right)$$

Simplifica el término común -x+5 con la propiedad distributiva.

$$\left(-x+5\right)\left(4x-9\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva -x+5=0 y 4x-9=0.

$$x=5 x=\frac{9}{4}$$

Sustituya 5 por x en la ecuación \sqrt{6+\sqrt{x+4}}=\sqrt{2x-1}.

$$\sqrt{6+\sqrt{5+4}}=\sqrt{2\times 5-1}$$

Simplifica. El valor x=5 satisface la ecuación.

$$3=3$$

Sustituya \frac{9}{4} por x en la ecuación \sqrt{6+\sqrt{x+4}}=\sqrt{2x-1}.

$$\sqrt{6+\sqrt{\frac{9}{4}+4}}=\sqrt{2\times \frac{9}{4}-1}$$

Simplifica. El valor x=\frac{9}{4} no satisface la ecuación.

$$\frac{1}{2}\times 34^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\times 14^{\frac{1}{2}}$$

Sustituya 5 por x en la ecuación \sqrt{6+\sqrt{x+4}}=\sqrt{2x-1}.

$$\sqrt{6+\sqrt{5+4}}=\sqrt{2\times 5-1}$$

Simplifica. El valor x=5 satisface la ecuación.

$$3=3$$

La ecuación \sqrt{\sqrt{x+4}+6}=\sqrt{2x-1} tiene una solución única.

$$x=5$$