Solucionar sqrt{4+2x-x^2}=x-2

$$\sqrt{ 4+2x- { x }^{ 2 } } =x-2$$

Resolver para x

$$x=3$$

Pasos de la solución

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(\sqrt{4+2x-x^{2}}\right)^{2}=\left(x-2\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{4+2x-x^{2}} a la potencia de 2 y obtiene 4+2x-x^{2}.

$$4+2x-x^{2}=\left(x-2\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-2\right)^{2}.

$$4+2x-x^{2}=x^{2}-4x+4$$

Resta x^{2} en los dos lados.

$$4+2x-x^{2}-x^{2}=-4x+4$$

Combina -x^{2} y -x^{2} para obtener -2x^{2}.

$$4+2x-2x^{2}=-4x+4$$

Agrega 4x a ambos lados.

$$4+2x-2x^{2}+4x=4$$

Combina 2x y 4x para obtener 6x.

$$4+6x-2x^{2}=4$$

Resta 4 en los dos lados.

$$4+6x-2x^{2}-4=0$$

Resta 4 de 4 para obtener 0.

$$6x-2x^{2}=0$$

Simplifica x.

$$x\left(6-2x\right)=0$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva x=0 y 6-2x=0.

$$x=0 x=3$$

Sustituya 0 por x en la ecuación \sqrt{4+2x-x^{2}}=x-2.

$$\sqrt{4+2\times 0-0^{2}}=0-2$$

Simplifica. El valor x=0 no cumple la ecuación porque la parte izquierda y la derecha tienen signos opuestos.

$$2=-2$$

Sustituya 3 por x en la ecuación \sqrt{4+2x-x^{2}}=x-2.

$$\sqrt{4+2\times 3-3^{2}}=3-2$$

Simplifica. El valor x=3 satisface la ecuación.

$$1=1$$

La ecuación \sqrt{4+2x-x^{2}}=x-2 tiene una solución única.

$$x=3$$