Solucionar sqrt{3x+12}-1=sqrt{5x+9}

$$\sqrt{ 3x+12 } -1= \sqrt{ 5x+9 }$$

Resolver para x

$$x=-1$$

Pasos de la solución

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(\sqrt{3x+12}-1\right)^{2}=\left(\sqrt{5x+9}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(\sqrt{3x+12}-1\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{3x+12}\right)^{2}-2\sqrt{3x+12}+1=\left(\sqrt{5x+9}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{3x+12} a la potencia de 2 y obtiene 3x+12.

$$3x+12-2\sqrt{3x+12}+1=\left(\sqrt{5x+9}\right)^{2}$$

Suma 12 y 1 para obtener 13.

$$3x+13-2\sqrt{3x+12}=\left(\sqrt{5x+9}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{5x+9} a la potencia de 2 y obtiene 5x+9.

$$3x+13-2\sqrt{3x+12}=5x+9$$

Resta 3x+13 en los dos lados de la ecuación.

$$-2\sqrt{3x+12}=5x+9-\left(3x+13\right)$$

Para calcular el opuesto de 3x+13, calcule el opuesto de cada término.

$$-2\sqrt{3x+12}=5x+9-3x-13$$

Combina 5x y -3x para obtener 2x.

$$-2\sqrt{3x+12}=2x+9-13$$

Resta 13 de 9 para obtener -4.

$$-2\sqrt{3x+12}=2x-4$$

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(-2\sqrt{3x+12}\right)^{2}=\left(2x-4\right)^{2}$$

Expande \left(-2\sqrt{3x+12}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{3x+12}\right)^{2}=\left(2x-4\right)^{2}$$

Calcula -2 a la potencia de 2 y obtiene 4.

$$4\left(\sqrt{3x+12}\right)^{2}=\left(2x-4\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{3x+12} a la potencia de 2 y obtiene 3x+12.

$$4\left(3x+12\right)=\left(2x-4\right)^{2}$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 4 por 3x+12.

$$12x+48=\left(2x-4\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(2x-4\right)^{2}.

$$12x+48=4x^{2}-16x+16$$

Resta 4x^{2} en los dos lados.

$$12x+48-4x^{2}=-16x+16$$

Agrega 16x a ambos lados.

$$12x+48-4x^{2}+16x=16$$

Combina 12x y 16x para obtener 28x.

$$28x+48-4x^{2}=16$$

Resta 16 en los dos lados.

$$28x+48-4x^{2}-16=0$$

Resta 16 de 48 para obtener 32.

$$28x+32-4x^{2}=0$$

Divide los dos lados por 4.

$$7x+8-x^{2}=0$$

Cambia el polinomio para ponerlo en una forma estándar. Ordena los términos de mayor a menor según la potencia.

$$-x^{2}+7x+8=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como -x^{2}+ax+bx+8. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=7 ab=-8=-8$$

Dado que ab es negativo, a y b tienen los signos opuestos. Como a+b es positivo, el número positivo tiene un valor absoluto mayor que el negativo. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto -8.

$$-1,8 -2,4$$

Calcule la suma de cada par.

$$-1+8=7 -2+4=2$$

La solución es el par que proporciona suma 7.

$$a=8 b=-1$$

Vuelva a escribir -x^{2}+7x+8 como \left(-x^{2}+8x\right)+\left(-x+8\right).

$$\left(-x^{2}+8x\right)+\left(-x+8\right)$$

Factoriza -x en el primero y -1 en el segundo grupo.

$$-x\left(x-8\right)-\left(x-8\right)$$

Simplifica el término común x-8 con la propiedad distributiva.

$$\left(x-8\right)\left(-x-1\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva x-8=0 y -x-1=0.

$$x=8 x=-1$$

Sustituya 8 por x en la ecuación \sqrt{3x+12}-1=\sqrt{5x+9}.

$$\sqrt{3\times 8+12}-1=\sqrt{5\times 8+9}$$

Simplifica. El valor x=8 no satisface la ecuación.

$$5=7$$

Sustituya -1 por x en la ecuación \sqrt{3x+12}-1=\sqrt{5x+9}.

$$\sqrt{3\left(-1\right)+12}-1=\sqrt{5\left(-1\right)+9}$$

Simplifica. El valor x=-1 satisface la ecuación.

$$2=2$$

La ecuación \sqrt{3x+12}-1=\sqrt{5x+9} tiene una solución única.

$$x=-1$$