Solucionar sqrt{2x-3}=2+sqrt{x-5}

$$\sqrt{ 2x-3 } = 2+ \sqrt{ x-5 }$$

Resolver para x

$$x=14$$

$$x=6$$

Pasos de la solución

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(\sqrt{2x-3}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{2x-3} a la potencia de 2 y obtiene 2x-3.

$$2x-3=\left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2}.

$$2x-3=4+4\sqrt{x-5}+\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x-5} a la potencia de 2 y obtiene x-5.

$$2x-3=4+4\sqrt{x-5}+x-5$$

Resta 5 de 4 para obtener -1.

$$2x-3=-1+4\sqrt{x-5}+x$$

Resta -1+x en los dos lados de la ecuación.

$$2x-3-\left(-1+x\right)=4\sqrt{x-5}$$

Para calcular el opuesto de -1+x, calcule el opuesto de cada término.

$$2x-3+1-x=4\sqrt{x-5}$$

Suma -3 y 1 para obtener -2.

$$2x-2-x=4\sqrt{x-5}$$

Combina 2x y -x para obtener x.

$$x-2=4\sqrt{x-5}$$

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(x-2\right)^{2}=\left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4=\left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Expande \left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4=4^{2}\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Calcula 4 a la potencia de 2 y obtiene 16.

$$x^{2}-4x+4=16\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x-5} a la potencia de 2 y obtiene x-5.

$$x^{2}-4x+4=16\left(x-5\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 16 por x-5.

$$x^{2}-4x+4=16x-80$$

Resta 16x en los dos lados.

$$x^{2}-4x+4-16x=-80$$

Combina -4x y -16x para obtener -20x.

$$x^{2}-20x+4=-80$$

Agrega 80 a ambos lados.

$$x^{2}-20x+4+80=0$$

Suma 4 y 80 para obtener 84.

$$x^{2}-20x+84=0$$

Para resolver la ecuación, factor x^{2}-20x+84 utilizar la fórmula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=-20 ab=84$$

Dado que ab es positivo, a y b tienen el mismo signo. Dado que a+b es negativo, a y b son negativos. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto 84.

$$-1,-84 -2,-42 -3,-28 -4,-21 -6,-14 -7,-12$$

Calcule la suma de cada par.

$$-1-84=-85 -2-42=-44 -3-28=-31 -4-21=-25 -6-14=-20 -7-12=-19$$

La solución es el par que proporciona suma -20.

$$a=-14 b=-6$$

Vuelve a escribir la expresión factorizada \left(x+a\right)\left(x+b\right) con los valores obtenidos.

$$\left(x-14\right)\left(x-6\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva x-14=0 y x-6=0.

$$x=14 x=6$$

Sustituya 14 por x en la ecuación \sqrt{2x-3}=2+\sqrt{x-5}.

$$\sqrt{2\times 14-3}=2+\sqrt{14-5}$$

Simplifica. El valor x=14 satisface la ecuación.

$$5=5$$

Sustituya 6 por x en la ecuación \sqrt{2x-3}=2+\sqrt{x-5}.

$$\sqrt{2\times 6-3}=2+\sqrt{6-5}$$

Simplifica. El valor x=6 satisface la ecuación.

$$3=3$$

Enumere todas las soluciones de \sqrt{2x-3}=\sqrt{x-5}+2.

$$x=14 x=6$$