Solucionar sqrt{1-x}+sqrt{1+x}=sqrt{2}

$$\sqrt{ 1-x } + \sqrt{ 1+x } = \sqrt{ 2 }$$

Resolver para x

$$x=1$$

$$x=-1$$

Pasos de la solución

Resta \sqrt{1+x} en los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{1-x}=\sqrt{2}-\sqrt{1+x}$$

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(\sqrt{1-x}\right)^{2}=\left(\sqrt{2}-\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{1-x} a la potencia de 2 y obtiene 1-x.

$$1-x=\left(\sqrt{2}-\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(\sqrt{2}-\sqrt{1+x}\right)^{2}.

$$1-x=\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}+\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

El cuadrado de \sqrt{2} es 2.

$$1-x=2-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}+\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{1+x} a la potencia de 2 y obtiene 1+x.

$$1-x=2-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}+1+x$$

Suma 2 y 1 para obtener 3.

$$1-x=3-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}+x$$

Resta 3+x en los dos lados de la ecuación.

$$1-x-\left(3+x\right)=-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}$$

Para calcular el opuesto de 3+x, calcule el opuesto de cada término.

$$1-x-3-x=-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}$$

Resta 3 de 1 para obtener -2.

$$-2-x-x=-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}$$

Combina -x y -x para obtener -2x.

$$-2-2x=-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}$$

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(-2-2x\right)^{2}=\left(-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(-2-2x\right)^{2}.

$$4+8x+4x^{2}=\left(-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Expande \left(-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}\right)^{2}.

$$4+8x+4x^{2}=\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Calcula -2 a la potencia de 2 y obtiene 4.

$$4+8x+4x^{2}=4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

El cuadrado de \sqrt{2} es 2.

$$4+8x+4x^{2}=4\times 2\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Multiplica 4 y 2 para obtener 8.

$$4+8x+4x^{2}=8\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{1+x} a la potencia de 2 y obtiene 1+x.

$$4+8x+4x^{2}=8\left(1+x\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 8 por 1+x.

$$4+8x+4x^{2}=8+8x$$

Resta 8 en los dos lados.

$$4+8x+4x^{2}-8=8x$$

Resta 8 de 4 para obtener -4.

$$-4+8x+4x^{2}=8x$$

Resta 8x en los dos lados.

$$-4+8x+4x^{2}-8x=0$$

Combina 8x y -8x para obtener 0.

$$-4+4x^{2}=0$$

Divide los dos lados por 4.

$$-1+x^{2}=0$$

Piense en -1+x^{2}. Vuelva a escribir -1+x^{2} como x^{2}-1^{2}. La diferencia de los cuadrados se puede factorizar mediante la regla: a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right).

$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva x-1=0 y x+1=0.

$$x=1 x=-1$$

Sustituya 1 por x en la ecuación \sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=\sqrt{2}.

$$\sqrt{1-1}+\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$$

Simplifica. El valor x=1 satisface la ecuación.

$$2^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{2}}$$

Sustituya -1 por x en la ecuación \sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=\sqrt{2}.

$$\sqrt{1-\left(-1\right)}+\sqrt{1-1}=\sqrt{2}$$

Simplifica. El valor x=-1 satisface la ecuación.

$$2^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{2}}$$

Enumere todas las soluciones de \sqrt{1-x}=-\sqrt{x+1}+\sqrt{2}.

$$x=1 x=-1$$