Solucionar sqrt{x^2-2x+10}+2x+1=0

$$\sqrt{ { x }^{ 2 } -2x+10 } +2x+1 = 0$$

Resolver para x

$$x=-3$$

Pasos de la solución

Resta 2x+1 en los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{x^{2}-2x+10}=-\left(2x+1\right)$$

Para calcular el opuesto de 2x+1, calcule el opuesto de cada término.

$$\sqrt{x^{2}-2x+10}=-2x-1$$

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(\sqrt{x^{2}-2x+10}\right)^{2}=\left(-2x-1\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x^{2}-2x+10} a la potencia de 2 y obtiene x^{2}-2x+10.

$$x^{2}-2x+10=\left(-2x-1\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(-2x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+10=4x^{2}+4x+1$$

Resta 4x^{2} en los dos lados.

$$x^{2}-2x+10-4x^{2}=4x+1$$

Combina x^{2} y -4x^{2} para obtener -3x^{2}.

$$-3x^{2}-2x+10=4x+1$$

Resta 4x en los dos lados.

$$-3x^{2}-2x+10-4x=1$$

Combina -2x y -4x para obtener -6x.

$$-3x^{2}-6x+10=1$$

Resta 1 en los dos lados.

$$-3x^{2}-6x+10-1=0$$

Resta 1 de 10 para obtener 9.

$$-3x^{2}-6x+9=0$$

Divide los dos lados por 3.

$$-x^{2}-2x+3=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como -x^{2}+ax+bx+3. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=-2 ab=-3=-3$$

Dado que ab es negativo, a y b tienen los signos opuestos. Dado que a+b es negativa, el número negativo tiene un valor absoluto mayor que el positivo. El único par como este es la solución de sistema.

$$a=1 b=-3$$

Vuelva a escribir -x^{2}-2x+3 como \left(-x^{2}+x\right)+\left(-3x+3\right).

$$\left(-x^{2}+x\right)+\left(-3x+3\right)$$

Factoriza x en el primero y 3 en el segundo grupo.

$$x\left(-x+1\right)+3\left(-x+1\right)$$

Simplifica el término común -x+1 con la propiedad distributiva.

$$\left(-x+1\right)\left(x+3\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva -x+1=0 y x+3=0.

$$x=1 x=-3$$

Sustituya 1 por x en la ecuación \sqrt{x^{2}-2x+10}+2x+1=0.

$$\sqrt{1^{2}-2+10}+2\times 1+1=0$$

Simplifica. El valor x=1 no satisface la ecuación.

$$6=0$$

Sustituya -3 por x en la ecuación \sqrt{x^{2}-2x+10}+2x+1=0.

$$\sqrt{\left(-3\right)^{2}-2\left(-3\right)+10}+2\left(-3\right)+1=0$$

Simplifica. El valor x=-3 satisface la ecuación.

$$0=0$$

La ecuación \sqrt{x^{2}-2x+10}=-2x-1 tiene una solución única.

$$x=-3$$