Solucionar sqrt{1/2+1/4+1/8+1/16+frac{1}{2}x}=x

$$\sqrt{ \frac{ 1 }{ 2 } + \frac{ 1 }{ 4 } + \frac{ 1 }{ 8 } + \frac{ 1 }{ 16 } + \frac{ 1 }{ 2 } x } = x$$

Resolver para x

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Pasos de la solución

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

El mínimo común múltiplo de 2 y 4 es 4. Convertir \frac{1}{2} y \frac{1}{4} a fracciones con denominador 4.

$$\left(\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Como \frac{2}{4} y \frac{1}{4} tienen el mismo denominador, sume sus numeradores para sumarlos.

$$\left(\sqrt{\frac{2+1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Suma 2 y 1 para obtener 3.

$$\left(\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

El mínimo común múltiplo de 4 y 8 es 8. Convertir \frac{3}{4} y \frac{1}{8} a fracciones con denominador 8.

$$\left(\sqrt{\frac{6}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Como \frac{6}{8} y \frac{1}{8} tienen el mismo denominador, sume sus numeradores para sumarlos.

$$\left(\sqrt{\frac{6+1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Suma 6 y 1 para obtener 7.

$$\left(\sqrt{\frac{7}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

El mínimo común múltiplo de 8 y 16 es 16. Convertir \frac{7}{8} y \frac{1}{16} a fracciones con denominador 16.

$$\left(\sqrt{\frac{14}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Como \frac{14}{16} y \frac{1}{16} tienen el mismo denominador, sume sus numeradores para sumarlos.

$$\left(\sqrt{\frac{14+1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Suma 14 y 1 para obtener 15.

$$\left(\sqrt{\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Calcula \sqrt{\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x} a la potencia de 2 y obtiene \frac{15}{16}+\frac{1}{2}x.

$$\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x=x^{2}$$

Resta x^{2} en los dos lados.

$$\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x-x^{2}=0$$

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$-x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{15}{16}=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace -1 por a, \frac{1}{2} por b y \frac{15}{16} por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-4\left(-1\right)\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Obtiene el cuadrado de \frac{1}{2}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}-4\left(-1\right)\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica -4 por -1.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}+4\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica 4 por \frac{15}{16}.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1+15}{4}}}{2\left(-1\right)}$$

Suma \frac{1}{4} y \frac{15}{4}. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{4}}{2\left(-1\right)}$$

Toma la raíz cuadrada de 4.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica 2 por -1.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2} dónde ± es más. Suma -\frac{1}{2} y 2.

$$x=\frac{\frac{3}{2}}{-2}$$

Divide \frac{3}{2} por -2.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2} dónde ± es menos. Resta 2 de -\frac{1}{2}.

$$x=-\frac{\frac{5}{2}}{-2}$$

Divide -\frac{5}{2} por -2.

$$x=\frac{5}{4}$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=-\frac{3}{4} x=\frac{5}{4}$$

Sustituya -\frac{3}{4} por x en la ecuación \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}=x.

$$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)}=-\frac{3}{4}$$

Simplifica. El valor x=-\frac{3}{4} no cumple la ecuación porque la parte izquierda y la derecha tienen signos opuestos.

$$\frac{3}{4}=-\frac{3}{4}$$

Sustituya \frac{5}{4} por x en la ecuación \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}=x.

$$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}\times \frac{5}{4}}=\frac{5}{4}$$

Simplifica. El valor x=\frac{5}{4} satisface la ecuación.

$$\frac{5}{4}=\frac{5}{4}$$

La ecuación \sqrt{\frac{x}{2}+\frac{15}{16}}=x tiene una solución única.

$$x=\frac{5}{4}$$