Solucionar sqrt{y-1}+3=y

$$\sqrt { y - 1 } + 3 = y$$

Resolver para y

$$y=5$$

Pasos de la solución

Resta 3 en los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{y-1}=y-3$$

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(\sqrt{y-1}\right)^{2}=\left(y-3\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{y-1} a la potencia de 2 y obtiene y-1.

$$y-1=\left(y-3\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(y-3\right)^{2}.

$$y-1=y^{2}-6y+9$$

Resta y^{2} en los dos lados.

$$y-1-y^{2}=-6y+9$$

Agrega 6y a ambos lados.

$$y-1-y^{2}+6y=9$$

Combina y y 6y para obtener 7y.

$$7y-1-y^{2}=9$$

Resta 9 en los dos lados.

$$7y-1-y^{2}-9=0$$

Resta 9 de -1 para obtener -10.

$$7y-10-y^{2}=0$$

Cambia el polinomio para ponerlo en una forma estándar. Ordena los términos de mayor a menor según la potencia.

$$-y^{2}+7y-10=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como -y^{2}+ay+by-10. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=7 ab=-\left(-10\right)=10$$

Dado que ab es positivo, a y b tienen el mismo signo. Dado que a+b es positivo, a y b son positivos. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto 10.

$$1,10 2,5$$

Calcule la suma de cada par.

$$1+10=11 2+5=7$$

La solución es el par que proporciona suma 7.

$$a=5 b=2$$

Vuelva a escribir -y^{2}+7y-10 como \left(-y^{2}+5y\right)+\left(2y-10\right).

$$\left(-y^{2}+5y\right)+\left(2y-10\right)$$

Factoriza -y en el primero y 2 en el segundo grupo.

$$-y\left(y-5\right)+2\left(y-5\right)$$

Simplifica el término común y-5 con la propiedad distributiva.

$$\left(y-5\right)\left(-y+2\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva y-5=0 y -y+2=0.

$$y=5 y=2$$

Sustituya 5 por y en la ecuación \sqrt{y-1}+3=y.

$$\sqrt{5-1}+3=5$$

Simplifica. El valor y=5 satisface la ecuación.

$$5=5$$

Sustituya 2 por y en la ecuación \sqrt{y-1}+3=y.

$$\sqrt{2-1}+3=2$$

Simplifica. El valor y=2 no satisface la ecuación.

$$4=2$$

La ecuación \sqrt{y-1}=y-3 tiene una solución única.

$$y=5$$