Solucionar sqrt{x-3}+sqrt{2x-2}=2

$$\sqrt { x - 3 } + \sqrt { 2 x - 2 } = 2$$

Resolver para x

$$x=3$$

Pasos de la solución

Resta \sqrt{2x-2} en los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{x-3}=2-\sqrt{2x-2}$$

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}=\left(2-\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x-3} a la potencia de 2 y obtiene x-3.

$$x-3=\left(2-\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(2-\sqrt{2x-2}\right)^{2}.

$$x-3=4-4\sqrt{2x-2}+\left(\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{2x-2} a la potencia de 2 y obtiene 2x-2.

$$x-3=4-4\sqrt{2x-2}+2x-2$$

Resta 2 de 4 para obtener 2.

$$x-3=2-4\sqrt{2x-2}+2x$$

Resta 2+2x en los dos lados de la ecuación.

$$x-3-\left(2+2x\right)=-4\sqrt{2x-2}$$

Para calcular el opuesto de 2+2x, calcule el opuesto de cada término.

$$x-3-2-2x=-4\sqrt{2x-2}$$

Resta 2 de -3 para obtener -5.

$$x-5-2x=-4\sqrt{2x-2}$$

Combina x y -2x para obtener -x.

$$-x-5=-4\sqrt{2x-2}$$

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(-x-5\right)^{2}=\left(-4\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(-x-5\right)^{2}.

$$x^{2}+10x+25=\left(-4\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Expande \left(-4\sqrt{2x-2}\right)^{2}.

$$x^{2}+10x+25=\left(-4\right)^{2}\left(\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Calcula -4 a la potencia de 2 y obtiene 16.

$$x^{2}+10x+25=16\left(\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{2x-2} a la potencia de 2 y obtiene 2x-2.

$$x^{2}+10x+25=16\left(2x-2\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 16 por 2x-2.

$$x^{2}+10x+25=32x-32$$

Resta 32x en los dos lados.

$$x^{2}+10x+25-32x=-32$$

Combina 10x y -32x para obtener -22x.

$$x^{2}-22x+25=-32$$

Agrega 32 a ambos lados.

$$x^{2}-22x+25+32=0$$

Suma 25 y 32 para obtener 57.

$$x^{2}-22x+57=0$$

Para resolver la ecuación, factor x^{2}-22x+57 utilizar la fórmula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=-22 ab=57$$

Dado que ab es positivo, a y b tienen el mismo signo. Dado que a+b es negativo, a y b son negativos. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto 57.

$$-1,-57 -3,-19$$

Calcule la suma de cada par.

$$-1-57=-58 -3-19=-22$$

La solución es el par que proporciona suma -22.

$$a=-19 b=-3$$

Vuelve a escribir la expresión factorizada \left(x+a\right)\left(x+b\right) con los valores obtenidos.

$$\left(x-19\right)\left(x-3\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva x-19=0 y x-3=0.

$$x=19 x=3$$

Sustituya 19 por x en la ecuación \sqrt{x-3}+\sqrt{2x-2}=2.

$$\sqrt{19-3}+\sqrt{2\times 19-2}=2$$

Simplifica. El valor x=19 no satisface la ecuación.

$$10=2$$

Sustituya 3 por x en la ecuación \sqrt{x-3}+\sqrt{2x-2}=2.

$$\sqrt{3-3}+\sqrt{2\times 3-2}=2$$

Simplifica. El valor x=3 satisface la ecuación.

$$2=2$$

La ecuación \sqrt{x-3}=-\sqrt{2x-2}+2 tiene una solución única.

$$x=3$$