Solucionar sqrt{x^2-1}=sqrt{2x+1}

$$\sqrt { x ^ { 2 } - 1 } = \sqrt { 2 x + 1 }$$

Resolver para x (solución compleja)

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2,732050808$$

$$x=1-\sqrt{3}\approx -0,732050808$$

Pasos de la solución

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x^{2}-1} a la potencia de 2 y obtiene x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{2x+1} a la potencia de 2 y obtiene 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

Resta 2x en los dos lados.

$$x^{2}-1-2x=1$$

Resta 1 en los dos lados.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

Resta 1 de -1 para obtener -2.

$$x^{2}-2-2x=0$$

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$x^{2}-2x-2=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace 1 por a, -2 por b y -2 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Obtiene el cuadrado de -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Multiplica -4 por -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Suma 4 y 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Toma la raíz cuadrada de 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

El opuesto de -2 es 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} dónde ± es más. Suma 2 y 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

Divide 2+2\sqrt{3} por 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} dónde ± es menos. Resta 2\sqrt{3} de 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

Divide 2-2\sqrt{3} por 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Sustituya \sqrt{3}+1 por x en la ecuación \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

Simplifica. El valor x=\sqrt{3}+1 satisface la ecuación.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

Sustituya 1-\sqrt{3} por x en la ecuación \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

Simplifica. El valor x=1-\sqrt{3} satisface la ecuación.

$$i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}=i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}$$

Enumere todas las soluciones de \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Resolver para x

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2,732050808$$

Pasos de la solución

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x^{2}-1} a la potencia de 2 y obtiene x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{2x+1} a la potencia de 2 y obtiene 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

Resta 2x en los dos lados.

$$x^{2}-1-2x=1$$

Resta 1 en los dos lados.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

Resta 1 de -1 para obtener -2.

$$x^{2}-2-2x=0$$

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$x^{2}-2x-2=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace 1 por a, -2 por b y -2 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Obtiene el cuadrado de -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Multiplica -4 por -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Suma 4 y 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Toma la raíz cuadrada de 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

El opuesto de -2 es 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} dónde ± es más. Suma 2 y 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

Divide 2+2\sqrt{3} por 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} dónde ± es menos. Resta 2\sqrt{3} de 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

Divide 2-2\sqrt{3} por 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Sustituya \sqrt{3}+1 por x en la ecuación \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

Simplifica. El valor x=\sqrt{3}+1 satisface la ecuación.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

Sustituya 1-\sqrt{3} por x en la ecuación \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}. No se ha definido la expresión \sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1} porque radicand no puede ser negativo.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

La ecuación \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1} tiene una solución única.

$$x=\sqrt{3}+1$$