Solucionar sqrt{x^2+2x+9}-7=2x

$$\sqrt { x ^ { 2 } + 2 x + 9 } - 7 = 2 x$$

Resolver para x

$$x=-2$$

Pasos de la solución

Resta -7 en los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{x^{2}+2x+9}=2x+7$$

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(\sqrt{x^{2}+2x+9}\right)^{2}=\left(2x+7\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x^{2}+2x+9} a la potencia de 2 y obtiene x^{2}+2x+9.

$$x^{2}+2x+9=\left(2x+7\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(2x+7\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+9=4x^{2}+28x+49$$

Resta 4x^{2} en los dos lados.

$$x^{2}+2x+9-4x^{2}=28x+49$$

Combina x^{2} y -4x^{2} para obtener -3x^{2}.

$$-3x^{2}+2x+9=28x+49$$

Resta 28x en los dos lados.

$$-3x^{2}+2x+9-28x=49$$

Combina 2x y -28x para obtener -26x.

$$-3x^{2}-26x+9=49$$

Resta 49 en los dos lados.

$$-3x^{2}-26x+9-49=0$$

Resta 49 de 9 para obtener -40.

$$-3x^{2}-26x-40=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como -3x^{2}+ax+bx-40. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=-26 ab=-3\left(-40\right)=120$$

Dado que ab es positivo, a y b tienen el mismo signo. Dado que a+b es negativo, a y b son negativos. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Calcule la suma de cada par.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

La solución es el par que proporciona suma -26.

$$a=-6 b=-20$$

Vuelva a escribir -3x^{2}-26x-40 como \left(-3x^{2}-6x\right)+\left(-20x-40\right).

$$\left(-3x^{2}-6x\right)+\left(-20x-40\right)$$

Factoriza 3x en el primero y 20 en el segundo grupo.

$$3x\left(-x-2\right)+20\left(-x-2\right)$$

Simplifica el término común -x-2 con la propiedad distributiva.

$$\left(-x-2\right)\left(3x+20\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva -x-2=0 y 3x+20=0.

$$x=-2 x=-\frac{20}{3}$$

Sustituya -2 por x en la ecuación \sqrt{x^{2}+2x+9}-7=2x.

$$\sqrt{\left(-2\right)^{2}+2\left(-2\right)+9}-7=2\left(-2\right)$$

Simplifica. El valor x=-2 satisface la ecuación.

$$-4=-4$$

Sustituya -\frac{20}{3} por x en la ecuación \sqrt{x^{2}+2x+9}-7=2x.

$$\sqrt{\left(-\frac{20}{3}\right)^{2}+2\left(-\frac{20}{3}\right)+9}-7=2\left(-\frac{20}{3}\right)$$

Simplifica. El valor x=-\frac{20}{3} no satisface la ecuación.

$$-\frac{2}{3}=-\frac{40}{3}$$

La ecuación \sqrt{x^{2}+2x+9}=2x+7 tiene una solución única.

$$x=-2$$