Solucionar sqrt{x+6}-sqrt{9x+70}=-2sqrt{x+9}

$$\sqrt { x + 6 } - \sqrt { 9 x + 70 } = - 2 \sqrt { x + 9 }$$

Resolver para x

$$x=-5$$

Pasos de la solución

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(\sqrt{x+6}-\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(\sqrt{x+6}-\sqrt{9x+70}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}+\left(\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x+6} a la potencia de 2 y obtiene x+6.

$$x+6-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}+\left(\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{9x+70} a la potencia de 2 y obtiene 9x+70.

$$x+6-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}+9x+70=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Combina x y 9x para obtener 10x.

$$10x+6-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}+70=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Suma 6 y 70 para obtener 76.

$$10x+76-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Expande \left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}.

$$10x+76-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Calcula -2 a la potencia de 2 y obtiene 4.

$$10x+76-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=4\left(\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x+9} a la potencia de 2 y obtiene x+9.

$$10x+76-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=4\left(x+9\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 4 por x+9.

$$10x+76-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=4x+36$$

Resta 10x+76 en los dos lados de la ecuación.

$$-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=4x+36-\left(10x+76\right)$$

Para calcular el opuesto de 10x+76, calcule el opuesto de cada término.

$$-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=4x+36-10x-76$$

Combina 4x y -10x para obtener -6x.

$$-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=-6x+36-76$$

Resta 76 de 36 para obtener -40.

$$-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=-6x-40$$

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Expande \left(-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}\left(\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Calcula -2 a la potencia de 2 y obtiene 4.

$$4\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}\left(\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x+6} a la potencia de 2 y obtiene x+6.

$$4\left(x+6\right)\left(\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{9x+70} a la potencia de 2 y obtiene 9x+70.

$$4\left(x+6\right)\left(9x+70\right)=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 4 por x+6.

$$\left(4x+24\right)\left(9x+70\right)=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Aplicar la propiedad distributiva multiplicando cada término de 4x+24 por cada término de 9x+70.

$$36x^{2}+280x+216x+1680=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Combina 280x y 216x para obtener 496x.

$$36x^{2}+496x+1680=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(-6x-40\right)^{2}.

$$36x^{2}+496x+1680=36x^{2}+480x+1600$$

Resta 36x^{2} en los dos lados.

$$36x^{2}+496x+1680-36x^{2}=480x+1600$$

Combina 36x^{2} y -36x^{2} para obtener 0.

$$496x+1680=480x+1600$$

Resta 480x en los dos lados.

$$496x+1680-480x=1600$$

Combina 496x y -480x para obtener 16x.

$$16x+1680=1600$$

Resta 1680 en los dos lados.

$$16x=1600-1680$$

Resta 1680 de 1600 para obtener -80.

$$16x=-80$$

Divide los dos lados por 16.

$$x=\frac{-80}{16}$$

Divide -80 entre 16 para obtener -5.

$$x=-5$$

Sustituya -5 por x en la ecuación \sqrt{x+6}-\sqrt{9x+70}=-2\sqrt{x+9}.

$$\sqrt{-5+6}-\sqrt{9\left(-5\right)+70}=-2\sqrt{-5+9}$$

Simplifica. El valor x=-5 satisface la ecuación.

$$-4=-4$$

La ecuación \sqrt{x+6}-\sqrt{9x+70}=-2\sqrt{x+9} tiene una solución única.

$$x=-5$$