Solucionar sqrt{x+6}+6=x

$$\sqrt { x + 6 } + 6 = x$$

Resolver para x

$$x=10$$

Pasos de la solución

Resta 6 en los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{x+6}=x-6$$

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(x-6\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x+6} a la potencia de 2 y obtiene x+6.

$$x+6=\left(x-6\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-6\right)^{2}.

$$x+6=x^{2}-12x+36$$

Resta x^{2} en los dos lados.

$$x+6-x^{2}=-12x+36$$

Agrega 12x a ambos lados.

$$x+6-x^{2}+12x=36$$

Combina x y 12x para obtener 13x.

$$13x+6-x^{2}=36$$

Resta 36 en los dos lados.

$$13x+6-x^{2}-36=0$$

Resta 36 de 6 para obtener -30.

$$13x-30-x^{2}=0$$

Cambia el polinomio para ponerlo en una forma estándar. Ordena los términos de mayor a menor según la potencia.

$$-x^{2}+13x-30=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como -x^{2}+ax+bx-30. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=13 ab=-\left(-30\right)=30$$

Dado que ab es positivo, a y b tienen el mismo signo. Dado que a+b es positivo, a y b son positivos. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Calcule la suma de cada par.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

La solución es el par que proporciona suma 13.

$$a=10 b=3$$

Vuelva a escribir -x^{2}+13x-30 como \left(-x^{2}+10x\right)+\left(3x-30\right).

$$\left(-x^{2}+10x\right)+\left(3x-30\right)$$

Factoriza -x en el primero y 3 en el segundo grupo.

$$-x\left(x-10\right)+3\left(x-10\right)$$

Simplifica el término común x-10 con la propiedad distributiva.

$$\left(x-10\right)\left(-x+3\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva x-10=0 y -x+3=0.

$$x=10 x=3$$

Sustituya 10 por x en la ecuación \sqrt{x+6}+6=x.

$$\sqrt{10+6}+6=10$$

Simplifica. El valor x=10 satisface la ecuación.

$$10=10$$

Sustituya 3 por x en la ecuación \sqrt{x+6}+6=x.

$$\sqrt{3+6}+6=3$$

Simplifica. El valor x=3 no satisface la ecuación.

$$9=3$$

La ecuación \sqrt{x+6}=x-6 tiene una solución única.

$$x=10$$