Solucionar sqrt{x+5}=sqrt{8-x}+1

$$\sqrt { x + 5 } = \sqrt { 8 - x } + 1$$

Resolver para x

$$x=4$$

Pasos de la solución

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(\sqrt{x+5}\right)^{2}=\left(\sqrt{8-x}+1\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x+5} a la potencia de 2 y obtiene x+5.

$$x+5=\left(\sqrt{8-x}+1\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(\sqrt{8-x}+1\right)^{2}.

$$x+5=\left(\sqrt{8-x}\right)^{2}+2\sqrt{8-x}+1$$

Calcula \sqrt{8-x} a la potencia de 2 y obtiene 8-x.

$$x+5=8-x+2\sqrt{8-x}+1$$

Suma 8 y 1 para obtener 9.

$$x+5=9-x+2\sqrt{8-x}$$

Resta 9-x en los dos lados de la ecuación.

$$x+5-\left(9-x\right)=2\sqrt{8-x}$$

Para calcular el opuesto de 9-x, calcule el opuesto de cada término.

$$x+5-9+x=2\sqrt{8-x}$$

Resta 9 de 5 para obtener -4.

$$x-4+x=2\sqrt{8-x}$$

Combina x y x para obtener 2x.

$$2x-4=2\sqrt{8-x}$$

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(2x-4\right)^{2}=\left(2\sqrt{8-x}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(2x-4\right)^{2}.

$$4x^{2}-16x+16=\left(2\sqrt{8-x}\right)^{2}$$

Expande \left(2\sqrt{8-x}\right)^{2}.

$$4x^{2}-16x+16=2^{2}\left(\sqrt{8-x}\right)^{2}$$

Calcula 2 a la potencia de 2 y obtiene 4.

$$4x^{2}-16x+16=4\left(\sqrt{8-x}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{8-x} a la potencia de 2 y obtiene 8-x.

$$4x^{2}-16x+16=4\left(8-x\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 4 por 8-x.

$$4x^{2}-16x+16=32-4x$$

Resta 32 en los dos lados.

$$4x^{2}-16x+16-32=-4x$$

Resta 32 de 16 para obtener -16.

$$4x^{2}-16x-16=-4x$$

Agrega 4x a ambos lados.

$$4x^{2}-16x-16+4x=0$$

Combina -16x y 4x para obtener -12x.

$$4x^{2}-12x-16=0$$

Divide los dos lados por 4.

$$x^{2}-3x-4=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como x^{2}+ax+bx-4. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=-3 ab=1\left(-4\right)=-4$$

Dado que ab es negativo, a y b tienen los signos opuestos. Dado que a+b es negativa, el número negativo tiene un valor absoluto mayor que el positivo. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto -4.

$$1,-4 2,-2$$

Calcule la suma de cada par.

$$1-4=-3 2-2=0$$

La solución es el par que proporciona suma -3.

$$a=-4 b=1$$

Vuelva a escribir x^{2}-3x-4 como \left(x^{2}-4x\right)+\left(x-4\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(x-4\right)$$

Simplifica x en x^{2}-4x.

$$x\left(x-4\right)+x-4$$

Simplifica el término común x-4 con la propiedad distributiva.

$$\left(x-4\right)\left(x+1\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva x-4=0 y x+1=0.

$$x=4 x=-1$$

Sustituya 4 por x en la ecuación \sqrt{x+5}=\sqrt{8-x}+1.

$$\sqrt{4+5}=\sqrt{8-4}+1$$

Simplifica. El valor x=4 satisface la ecuación.

$$3=3$$

Sustituya -1 por x en la ecuación \sqrt{x+5}=\sqrt{8-x}+1.

$$\sqrt{-1+5}=\sqrt{8-\left(-1\right)}+1$$

Simplifica. El valor x=-1 no satisface la ecuación.

$$2=4$$

Sustituya 4 por x en la ecuación \sqrt{x+5}=\sqrt{8-x}+1.

$$\sqrt{4+5}=\sqrt{8-4}+1$$

Simplifica. El valor x=4 satisface la ecuación.

$$3=3$$

La ecuación \sqrt{x+5}=\sqrt{8-x}+1 tiene una solución única.

$$x=4$$