Solucionar sqrt{x+5}+sqrt{2x+8}=1

$$\sqrt { x + 5 } + \sqrt { 2 x + 8 } = 1$$

Resolver para x

$$x=-4$$

Pasos de la solución

Resta \sqrt{2x+8} en los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{x+5}=1-\sqrt{2x+8}$$

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(\sqrt{x+5}\right)^{2}=\left(1-\sqrt{2x+8}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x+5} a la potencia de 2 y obtiene x+5.

$$x+5=\left(1-\sqrt{2x+8}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(1-\sqrt{2x+8}\right)^{2}.

$$x+5=1-2\sqrt{2x+8}+\left(\sqrt{2x+8}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{2x+8} a la potencia de 2 y obtiene 2x+8.

$$x+5=1-2\sqrt{2x+8}+2x+8$$

Suma 1 y 8 para obtener 9.

$$x+5=9-2\sqrt{2x+8}+2x$$

Resta 9+2x en los dos lados de la ecuación.

$$x+5-\left(9+2x\right)=-2\sqrt{2x+8}$$

Para calcular el opuesto de 9+2x, calcule el opuesto de cada término.

$$x+5-9-2x=-2\sqrt{2x+8}$$

Resta 9 de 5 para obtener -4.

$$x-4-2x=-2\sqrt{2x+8}$$

Combina x y -2x para obtener -x.

$$-x-4=-2\sqrt{2x+8}$$

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(-x-4\right)^{2}=\left(-2\sqrt{2x+8}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(-x-4\right)^{2}.

$$x^{2}+8x+16=\left(-2\sqrt{2x+8}\right)^{2}$$

Expande \left(-2\sqrt{2x+8}\right)^{2}.

$$x^{2}+8x+16=\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{2x+8}\right)^{2}$$

Calcula -2 a la potencia de 2 y obtiene 4.

$$x^{2}+8x+16=4\left(\sqrt{2x+8}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{2x+8} a la potencia de 2 y obtiene 2x+8.

$$x^{2}+8x+16=4\left(2x+8\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 4 por 2x+8.

$$x^{2}+8x+16=8x+32$$

Resta 8x en los dos lados.

$$x^{2}+8x+16-8x=32$$

Combina 8x y -8x para obtener 0.

$$x^{2}+16=32$$

Resta 32 en los dos lados.

$$x^{2}+16-32=0$$

Resta 32 de 16 para obtener -16.

$$x^{2}-16=0$$

Piense en x^{2}-16. Vuelva a escribir x^{2}-16 como x^{2}-4^{2}. La diferencia de los cuadrados se puede factorizar mediante la regla: a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right).

$$\left(x-4\right)\left(x+4\right)=0$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva x-4=0 y x+4=0.

$$x=4 x=-4$$

Sustituya 4 por x en la ecuación \sqrt{x+5}+\sqrt{2x+8}=1.

$$\sqrt{4+5}+\sqrt{2\times 4+8}=1$$

Simplifica. El valor x=4 no satisface la ecuación.

$$7=1$$

Sustituya -4 por x en la ecuación \sqrt{x+5}+\sqrt{2x+8}=1.

$$\sqrt{-4+5}+\sqrt{2\left(-4\right)+8}=1$$

Simplifica. El valor x=-4 satisface la ecuación.

$$1=1$$

La ecuación \sqrt{x+5}=-\sqrt{2x+8}+1 tiene una solución única.

$$x=-4$$