Solucionar sqrt{x+2}-sqrt{2-x}=2

$$\sqrt { x + 2 } - \sqrt { 2 - x } = 2$$

Resolver para x

$$x=2$$

Pasos de la solución

Resta -\sqrt{2-x} en los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{x+2}=2+\sqrt{2-x}$$

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{2-x}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x+2} a la potencia de 2 y obtiene x+2.

$$x+2=\left(2+\sqrt{2-x}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(2+\sqrt{2-x}\right)^{2}.

$$x+2=4+4\sqrt{2-x}+\left(\sqrt{2-x}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{2-x} a la potencia de 2 y obtiene 2-x.

$$x+2=4+4\sqrt{2-x}+2-x$$

Suma 4 y 2 para obtener 6.

$$x+2=6+4\sqrt{2-x}-x$$

Resta 6-x en los dos lados de la ecuación.

$$x+2-\left(6-x\right)=4\sqrt{2-x}$$

Para calcular el opuesto de 6-x, calcule el opuesto de cada término.

$$x+2-6+x=4\sqrt{2-x}$$

Resta 6 de 2 para obtener -4.

$$x-4+x=4\sqrt{2-x}$$

Combina x y x para obtener 2x.

$$2x-4=4\sqrt{2-x}$$

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(2x-4\right)^{2}=\left(4\sqrt{2-x}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(2x-4\right)^{2}.

$$4x^{2}-16x+16=\left(4\sqrt{2-x}\right)^{2}$$

Expande \left(4\sqrt{2-x}\right)^{2}.

$$4x^{2}-16x+16=4^{2}\left(\sqrt{2-x}\right)^{2}$$

Calcula 4 a la potencia de 2 y obtiene 16.

$$4x^{2}-16x+16=16\left(\sqrt{2-x}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{2-x} a la potencia de 2 y obtiene 2-x.

$$4x^{2}-16x+16=16\left(2-x\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 16 por 2-x.

$$4x^{2}-16x+16=32-16x$$

Resta 32 en los dos lados.

$$4x^{2}-16x+16-32=-16x$$

Resta 32 de 16 para obtener -16.

$$4x^{2}-16x-16=-16x$$

Agrega 16x a ambos lados.

$$4x^{2}-16x-16+16x=0$$

Combina -16x y 16x para obtener 0.

$$4x^{2}-16=0$$

Divide los dos lados por 4.

$$x^{2}-4=0$$

Piense en x^{2}-4. Vuelva a escribir x^{2}-4 como x^{2}-2^{2}. La diferencia de los cuadrados se puede factorizar mediante la regla: a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right).

$$\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva x-2=0 y x+2=0.

$$x=2 x=-2$$

Sustituya 2 por x en la ecuación \sqrt{x+2}-\sqrt{2-x}=2.

$$\sqrt{2+2}-\sqrt{2-2}=2$$

Simplifica. El valor x=2 satisface la ecuación.

$$2=2$$

Sustituya -2 por x en la ecuación \sqrt{x+2}-\sqrt{2-x}=2.

$$\sqrt{-2+2}-\sqrt{2-\left(-2\right)}=2$$

Simplifica. El valor x=-2 no cumple la ecuación porque la parte izquierda y la derecha tienen signos opuestos.

$$-2=2$$

Sustituya 2 por x en la ecuación \sqrt{x+2}-\sqrt{2-x}=2.

$$\sqrt{2+2}-\sqrt{2-2}=2$$

Simplifica. El valor x=2 satisface la ecuación.

$$2=2$$

La ecuación \sqrt{x+2}=\sqrt{2-x}+2 tiene una solución única.

$$x=2$$