Solucionar sqrt{x+2}+1=sqrt{3x+3}

$$\sqrt { x + 2 } + 1 = \sqrt { 3 x + 3 }$$

Resolver para x

$$x=2$$

Pasos de la solución

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(\sqrt{x+2}+1\right)^{2}=\left(\sqrt{3x+3}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(\sqrt{x+2}+1\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}+2\sqrt{x+2}+1=\left(\sqrt{3x+3}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x+2} a la potencia de 2 y obtiene x+2.

$$x+2+2\sqrt{x+2}+1=\left(\sqrt{3x+3}\right)^{2}$$

Suma 2 y 1 para obtener 3.

$$x+3+2\sqrt{x+2}=\left(\sqrt{3x+3}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{3x+3} a la potencia de 2 y obtiene 3x+3.

$$x+3+2\sqrt{x+2}=3x+3$$

Resta x+3 en los dos lados de la ecuación.

$$2\sqrt{x+2}=3x+3-\left(x+3\right)$$

Para calcular el opuesto de x+3, calcule el opuesto de cada término.

$$2\sqrt{x+2}=3x+3-x-3$$

Combina 3x y -x para obtener 2x.

$$2\sqrt{x+2}=2x+3-3$$

Resta 3 de 3 para obtener 0.

$$2\sqrt{x+2}=2x$$

Anula 2 en ambos lados.

$$\sqrt{x+2}=x$$

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}=x^{2}$$

Calcula \sqrt{x+2} a la potencia de 2 y obtiene x+2.

$$x+2=x^{2}$$

Resta x^{2} en los dos lados.

$$x+2-x^{2}=0$$

Cambia el polinomio para ponerlo en una forma estándar. Ordena los términos de mayor a menor según la potencia.

$$-x^{2}+x+2=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como -x^{2}+ax+bx+2. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=1 ab=-2=-2$$

Dado que ab es negativo, a y b tienen los signos opuestos. Como a+b es positivo, el número positivo tiene un valor absoluto mayor que el negativo. El único par como este es la solución de sistema.

$$a=2 b=-1$$

Vuelva a escribir -x^{2}+x+2 como \left(-x^{2}+2x\right)+\left(-x+2\right).

$$\left(-x^{2}+2x\right)+\left(-x+2\right)$$

Factoriza -x en el primero y -1 en el segundo grupo.

$$-x\left(x-2\right)-\left(x-2\right)$$

Simplifica el término común x-2 con la propiedad distributiva.

$$\left(x-2\right)\left(-x-1\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva x-2=0 y -x-1=0.

$$x=2 x=-1$$

Sustituya 2 por x en la ecuación \sqrt{x+2}+1=\sqrt{3x+3}.

$$\sqrt{2+2}+1=\sqrt{3\times 2+3}$$

Simplifica. El valor x=2 satisface la ecuación.

$$3=3$$

Sustituya -1 por x en la ecuación \sqrt{x+2}+1=\sqrt{3x+3}.

$$\sqrt{-1+2}+1=\sqrt{3\left(-1\right)+3}$$

Simplifica. El valor x=-1 no satisface la ecuación.

$$2=0$$

Sustituya 2 por x en la ecuación \sqrt{x+2}+1=\sqrt{3x+3}.

$$\sqrt{2+2}+1=\sqrt{3\times 2+3}$$

Simplifica. El valor x=2 satisface la ecuación.

$$3=3$$

La ecuación \sqrt{x+2}+1=\sqrt{3x+3} tiene una solución única.

$$x=2$$