Solucionar sqrt{x+1}+sqrt{2x+3}=1

$$\sqrt { x + 1 } + \sqrt { 2 x + 3 } = 1$$

Resolver para x

$$x=-1$$

Pasos de la solución

Resta \sqrt{2x+3} en los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{x+1}=1-\sqrt{2x+3}$$

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(\sqrt{x+1}\right)^{2}=\left(1-\sqrt{2x+3}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x+1} a la potencia de 2 y obtiene x+1.

$$x+1=\left(1-\sqrt{2x+3}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(1-\sqrt{2x+3}\right)^{2}.

$$x+1=1-2\sqrt{2x+3}+\left(\sqrt{2x+3}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{2x+3} a la potencia de 2 y obtiene 2x+3.

$$x+1=1-2\sqrt{2x+3}+2x+3$$

Suma 1 y 3 para obtener 4.

$$x+1=4-2\sqrt{2x+3}+2x$$

Resta 4+2x en los dos lados de la ecuación.

$$x+1-\left(4+2x\right)=-2\sqrt{2x+3}$$

Para calcular el opuesto de 4+2x, calcule el opuesto de cada término.

$$x+1-4-2x=-2\sqrt{2x+3}$$

Resta 4 de 1 para obtener -3.

$$x-3-2x=-2\sqrt{2x+3}$$

Combina x y -2x para obtener -x.

$$-x-3=-2\sqrt{2x+3}$$

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(-x-3\right)^{2}=\left(-2\sqrt{2x+3}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(-x-3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9=\left(-2\sqrt{2x+3}\right)^{2}$$

Expande \left(-2\sqrt{2x+3}\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9=\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{2x+3}\right)^{2}$$

Calcula -2 a la potencia de 2 y obtiene 4.

$$x^{2}+6x+9=4\left(\sqrt{2x+3}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{2x+3} a la potencia de 2 y obtiene 2x+3.

$$x^{2}+6x+9=4\left(2x+3\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 4 por 2x+3.

$$x^{2}+6x+9=8x+12$$

Resta 8x en los dos lados.

$$x^{2}+6x+9-8x=12$$

Combina 6x y -8x para obtener -2x.

$$x^{2}-2x+9=12$$

Resta 12 en los dos lados.

$$x^{2}-2x+9-12=0$$

Resta 12 de 9 para obtener -3.

$$x^{2}-2x-3=0$$

Para resolver la ecuación, factor x^{2}-2x-3 utilizar la fórmula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=-2 ab=-3$$

Dado que ab es negativo, a y b tienen los signos opuestos. Dado que a+b es negativa, el número negativo tiene un valor absoluto mayor que el positivo. El único par como este es la solución de sistema.

$$a=-3 b=1$$

Vuelve a escribir la expresión factorizada \left(x+a\right)\left(x+b\right) con los valores obtenidos.

$$\left(x-3\right)\left(x+1\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva x-3=0 y x+1=0.

$$x=3 x=-1$$

Sustituya 3 por x en la ecuación \sqrt{x+1}+\sqrt{2x+3}=1.

$$\sqrt{3+1}+\sqrt{2\times 3+3}=1$$

Simplifica. El valor x=3 no satisface la ecuación.

$$5=1$$

Sustituya -1 por x en la ecuación \sqrt{x+1}+\sqrt{2x+3}=1.

$$\sqrt{-1+1}+\sqrt{2\left(-1\right)+3}=1$$

Simplifica. El valor x=-1 satisface la ecuación.

$$1=1$$

La ecuación \sqrt{x+1}=-\sqrt{2x+3}+1 tiene una solución única.

$$x=-1$$