Solucionar sqrt{q+2}+1=sqrt{3q+7}

$$\sqrt { q + 2 } + 1 = \sqrt { 3 q + 7 }$$

Resolver para q

$$q=-1$$

$$q=-2$$

Pasos de la solución

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(\sqrt{q+2}+1\right)^{2}=\left(\sqrt{3q+7}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(\sqrt{q+2}+1\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{q+2}\right)^{2}+2\sqrt{q+2}+1=\left(\sqrt{3q+7}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{q+2} a la potencia de 2 y obtiene q+2.

$$q+2+2\sqrt{q+2}+1=\left(\sqrt{3q+7}\right)^{2}$$

Suma 2 y 1 para obtener 3.

$$q+3+2\sqrt{q+2}=\left(\sqrt{3q+7}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{3q+7} a la potencia de 2 y obtiene 3q+7.

$$q+3+2\sqrt{q+2}=3q+7$$

Resta q+3 en los dos lados de la ecuación.

$$2\sqrt{q+2}=3q+7-\left(q+3\right)$$

Para calcular el opuesto de q+3, calcule el opuesto de cada término.

$$2\sqrt{q+2}=3q+7-q-3$$

Combina 3q y -q para obtener 2q.

$$2\sqrt{q+2}=2q+7-3$$

Resta 3 de 7 para obtener 4.

$$2\sqrt{q+2}=2q+4$$

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(2\sqrt{q+2}\right)^{2}=\left(2q+4\right)^{2}$$

Expande \left(2\sqrt{q+2}\right)^{2}.

$$2^{2}\left(\sqrt{q+2}\right)^{2}=\left(2q+4\right)^{2}$$

Calcula 2 a la potencia de 2 y obtiene 4.

$$4\left(\sqrt{q+2}\right)^{2}=\left(2q+4\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{q+2} a la potencia de 2 y obtiene q+2.

$$4\left(q+2\right)=\left(2q+4\right)^{2}$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 4 por q+2.

$$4q+8=\left(2q+4\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(2q+4\right)^{2}.

$$4q+8=4q^{2}+16q+16$$

Resta 4q^{2} en los dos lados.

$$4q+8-4q^{2}=16q+16$$

Resta 16q en los dos lados.

$$4q+8-4q^{2}-16q=16$$

Combina 4q y -16q para obtener -12q.

$$-12q+8-4q^{2}=16$$

Resta 16 en los dos lados.

$$-12q+8-4q^{2}-16=0$$

Resta 16 de 8 para obtener -8.

$$-12q-8-4q^{2}=0$$

Divide los dos lados por 4.

$$-3q-2-q^{2}=0$$

Cambia el polinomio para ponerlo en una forma estándar. Ordena los términos de mayor a menor según la potencia.

$$-q^{2}-3q-2=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como -q^{2}+aq+bq-2. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=-3 ab=-\left(-2\right)=2$$

Dado que ab es positivo, a y b tienen el mismo signo. Dado que a+b es negativo, a y b son negativos. El único par como este es la solución de sistema.

$$a=-1 b=-2$$

Vuelva a escribir -q^{2}-3q-2 como \left(-q^{2}-q\right)+\left(-2q-2\right).

$$\left(-q^{2}-q\right)+\left(-2q-2\right)$$

Factoriza q en el primero y 2 en el segundo grupo.

$$q\left(-q-1\right)+2\left(-q-1\right)$$

Simplifica el término común -q-1 con la propiedad distributiva.

$$\left(-q-1\right)\left(q+2\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva -q-1=0 y q+2=0.

$$q=-1 q=-2$$

Sustituya -1 por q en la ecuación \sqrt{q+2}+1=\sqrt{3q+7}.

$$\sqrt{-1+2}+1=\sqrt{3\left(-1\right)+7}$$

Simplifica. El valor q=-1 satisface la ecuación.

$$2=2$$

Sustituya -2 por q en la ecuación \sqrt{q+2}+1=\sqrt{3q+7}.

$$\sqrt{-2+2}+1=\sqrt{3\left(-2\right)+7}$$

Simplifica. El valor q=-2 satisface la ecuación.

$$1=1$$

Enumere todas las soluciones de \sqrt{q+2}+1=\sqrt{3q+7}.

$$q=-1 q=-2$$