Solucionar sqrt{a-4}+1=sqrt{2a-7}

$$\sqrt { a - 4 } + 1 = \sqrt { 2 a - 7 }$$

Resolver para a

$$a=8$$

$$a=4$$

Pasos de la solución

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(\sqrt{a-4}+1\right)^{2}=\left(\sqrt{2a-7}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(\sqrt{a-4}+1\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{a-4}\right)^{2}+2\sqrt{a-4}+1=\left(\sqrt{2a-7}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{a-4} a la potencia de 2 y obtiene a-4.

$$a-4+2\sqrt{a-4}+1=\left(\sqrt{2a-7}\right)^{2}$$

Suma -4 y 1 para obtener -3.

$$a-3+2\sqrt{a-4}=\left(\sqrt{2a-7}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{2a-7} a la potencia de 2 y obtiene 2a-7.

$$a-3+2\sqrt{a-4}=2a-7$$

Resta a-3 en los dos lados de la ecuación.

$$2\sqrt{a-4}=2a-7-\left(a-3\right)$$

Para calcular el opuesto de a-3, calcule el opuesto de cada término.

$$2\sqrt{a-4}=2a-7-a+3$$

Combina 2a y -a para obtener a.

$$2\sqrt{a-4}=a-7+3$$

Suma -7 y 3 para obtener -4.

$$2\sqrt{a-4}=a-4$$

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(2\sqrt{a-4}\right)^{2}=\left(a-4\right)^{2}$$

Expande \left(2\sqrt{a-4}\right)^{2}.

$$2^{2}\left(\sqrt{a-4}\right)^{2}=\left(a-4\right)^{2}$$

Calcula 2 a la potencia de 2 y obtiene 4.

$$4\left(\sqrt{a-4}\right)^{2}=\left(a-4\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{a-4} a la potencia de 2 y obtiene a-4.

$$4\left(a-4\right)=\left(a-4\right)^{2}$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 4 por a-4.

$$4a-16=\left(a-4\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(a-4\right)^{2}.

$$4a-16=a^{2}-8a+16$$

Resta a^{2} en los dos lados.

$$4a-16-a^{2}=-8a+16$$

Agrega 8a a ambos lados.

$$4a-16-a^{2}+8a=16$$

Combina 4a y 8a para obtener 12a.

$$12a-16-a^{2}=16$$

Resta 16 en los dos lados.

$$12a-16-a^{2}-16=0$$

Resta 16 de -16 para obtener -32.

$$12a-32-a^{2}=0$$

Cambia el polinomio para ponerlo en una forma estándar. Ordena los términos de mayor a menor según la potencia.

$$-a^{2}+12a-32=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como -a^{2}+aa+ba-32. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=12 ab=-\left(-32\right)=32$$

Dado que ab es positivo, a y b tienen el mismo signo. Dado que a+b es positivo, a y b son positivos. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto 32.

$$1,32 2,16 4,8$$

Calcule la suma de cada par.

$$1+32=33 2+16=18 4+8=12$$

La solución es el par que proporciona suma 12.

$$a=8 b=4$$

Vuelva a escribir -a^{2}+12a-32 como \left(-a^{2}+8a\right)+\left(4a-32\right).

$$\left(-a^{2}+8a\right)+\left(4a-32\right)$$

Factoriza -a en el primero y 4 en el segundo grupo.

$$-a\left(a-8\right)+4\left(a-8\right)$$

Simplifica el término común a-8 con la propiedad distributiva.

$$\left(a-8\right)\left(-a+4\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva a-8=0 y -a+4=0.

$$a=8 a=4$$

Sustituya 8 por a en la ecuación \sqrt{a-4}+1=\sqrt{2a-7}.

$$\sqrt{8-4}+1=\sqrt{2\times 8-7}$$

Simplifica. El valor a=8 satisface la ecuación.

$$3=3$$

Sustituya 4 por a en la ecuación \sqrt{a-4}+1=\sqrt{2a-7}.

$$\sqrt{4-4}+1=\sqrt{2\times 4-7}$$

Simplifica. El valor a=4 satisface la ecuación.

$$1=1$$

Enumere todas las soluciones de \sqrt{a-4}+1=\sqrt{2a-7}.

$$a=8 a=4$$