Solucionar sqrt{5x-6}-sqrt{x-2}=2

$$\sqrt { 5 x - 6 } - \sqrt { x - 2 } = 2$$

Resolver para x

$$x=3$$

$$x=2$$

Pasos de la solución

Resta -\sqrt{x-2} en los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{5x-6}=2+\sqrt{x-2}$$

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(\sqrt{5x-6}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{x-2}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{5x-6} a la potencia de 2 y obtiene 5x-6.

$$5x-6=\left(2+\sqrt{x-2}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(2+\sqrt{x-2}\right)^{2}.

$$5x-6=4+4\sqrt{x-2}+\left(\sqrt{x-2}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x-2} a la potencia de 2 y obtiene x-2.

$$5x-6=4+4\sqrt{x-2}+x-2$$

Resta 2 de 4 para obtener 2.

$$5x-6=2+4\sqrt{x-2}+x$$

Resta 2+x en los dos lados de la ecuación.

$$5x-6-\left(2+x\right)=4\sqrt{x-2}$$

Para calcular el opuesto de 2+x, calcule el opuesto de cada término.

$$5x-6-2-x=4\sqrt{x-2}$$

Resta 2 de -6 para obtener -8.

$$5x-8-x=4\sqrt{x-2}$$

Combina 5x y -x para obtener 4x.

$$4x-8=4\sqrt{x-2}$$

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(4x-8\right)^{2}=\left(4\sqrt{x-2}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(4x-8\right)^{2}.

$$16x^{2}-64x+64=\left(4\sqrt{x-2}\right)^{2}$$

Expande \left(4\sqrt{x-2}\right)^{2}.

$$16x^{2}-64x+64=4^{2}\left(\sqrt{x-2}\right)^{2}$$

Calcula 4 a la potencia de 2 y obtiene 16.

$$16x^{2}-64x+64=16\left(\sqrt{x-2}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x-2} a la potencia de 2 y obtiene x-2.

$$16x^{2}-64x+64=16\left(x-2\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 16 por x-2.

$$16x^{2}-64x+64=16x-32$$

Resta 16x en los dos lados.

$$16x^{2}-64x+64-16x=-32$$

Combina -64x y -16x para obtener -80x.

$$16x^{2}-80x+64=-32$$

Agrega 32 a ambos lados.

$$16x^{2}-80x+64+32=0$$

Suma 64 y 32 para obtener 96.

$$16x^{2}-80x+96=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace 16 por a, -80 por b y 96 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{\left(-80\right)^{2}-4\times 16\times 96}}{2\times 16}$$

Obtiene el cuadrado de -80.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-4\times 16\times 96}}{2\times 16}$$

Multiplica -4 por 16.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-64\times 96}}{2\times 16}$$

Multiplica -64 por 96.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-6144}}{2\times 16}$$

Suma 6400 y -6144.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{256}}{2\times 16}$$

Toma la raíz cuadrada de 256.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±16}{2\times 16}$$

El opuesto de -80 es 80.

$$x=\frac{80±16}{2\times 16}$$

Multiplica 2 por 16.

$$x=\frac{80±16}{32}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{80±16}{32} dónde ± es más. Suma 80 y 16.

$$x=\frac{96}{32}$$

Divide 96 por 32.

$$x=3$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{80±16}{32} dónde ± es menos. Resta 16 de 80.

$$x=\frac{64}{32}$$

Divide 64 por 32.

$$x=2$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=3 x=2$$

Sustituya 3 por x en la ecuación \sqrt{5x-6}-\sqrt{x-2}=2.

$$\sqrt{5\times 3-6}-\sqrt{3-2}=2$$

Simplifica. El valor x=3 satisface la ecuación.

$$2=2$$

Sustituya 2 por x en la ecuación \sqrt{5x-6}-\sqrt{x-2}=2.

$$\sqrt{5\times 2-6}-\sqrt{2-2}=2$$

Simplifica. El valor x=2 satisface la ecuación.

$$2=2$$

Enumere todas las soluciones de \sqrt{5x-6}=\sqrt{x-2}+2.

$$x=3 x=2$$