Solucionar sqrt{5x-1}-sqrt{3x-2}=sqrt{x-1}

$$\sqrt { 5 x - 1 } - \sqrt { 3 x - 2 } = \sqrt { x - 1 }$$

Resolver para x

$$x=2$$

Pasos de la solución

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{5x-1} a la potencia de 2 y obtiene 5x-1.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{3x-2} a la potencia de 2 y obtiene 3x-2.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+3x-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Combina 5x y 3x para obtener 8x.

$$8x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Resta 2 de -1 para obtener -3.

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x-1} a la potencia de 2 y obtiene x-1.

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1$$

Resta 8x-3 en los dos lados de la ecuación.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-\left(8x-3\right)$$

Para calcular el opuesto de 8x-3, calcule el opuesto de cada término.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-8x+3$$

Combina x y -8x para obtener -7x.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x-1+3$$

Suma -1 y 3 para obtener 2.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x+2$$

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Expande \left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Calcula -2 a la potencia de 2 y obtiene 4.

$$4\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{5x-1} a la potencia de 2 y obtiene 5x-1.

$$4\left(5x-1\right)\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{3x-2} a la potencia de 2 y obtiene 3x-2.

$$4\left(5x-1\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 4 por 5x-1.

$$\left(20x-4\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Aplicar la propiedad distributiva multiplicando cada término de 20x-4 por cada término de 3x-2.

$$60x^{2}-40x-12x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Combina -40x y -12x para obtener -52x.

$$60x^{2}-52x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(-7x+2\right)^{2}.

$$60x^{2}-52x+8=49x^{2}-28x+4$$

Resta 49x^{2} en los dos lados.

$$60x^{2}-52x+8-49x^{2}=-28x+4$$

Combina 60x^{2} y -49x^{2} para obtener 11x^{2}.

$$11x^{2}-52x+8=-28x+4$$

Agrega 28x a ambos lados.

$$11x^{2}-52x+8+28x=4$$

Combina -52x y 28x para obtener -24x.

$$11x^{2}-24x+8=4$$

Resta 4 en los dos lados.

$$11x^{2}-24x+8-4=0$$

Resta 4 de 8 para obtener 4.

$$11x^{2}-24x+4=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como 11x^{2}+ax+bx+4. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=-24 ab=11\times 4=44$$

Dado que ab es positivo, a y b tienen el mismo signo. Dado que a+b es negativo, a y b son negativos. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto 44.

$$-1,-44 -2,-22 -4,-11$$

Calcule la suma de cada par.

$$-1-44=-45 -2-22=-24 -4-11=-15$$

La solución es el par que proporciona suma -24.

$$a=-22 b=-2$$

Vuelva a escribir 11x^{2}-24x+4 como \left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right).

$$\left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right)$$

Factoriza 11x en el primero y -2 en el segundo grupo.

$$11x\left(x-2\right)-2\left(x-2\right)$$

Simplifica el término común x-2 con la propiedad distributiva.

$$\left(x-2\right)\left(11x-2\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva x-2=0 y 11x-2=0.

$$x=2 x=\frac{2}{11}$$

Sustituya \frac{2}{11} por x en la ecuación \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1}. No se ha definido la expresión \sqrt{5\times \frac{2}{11}-1} porque radicand no puede ser negativo.

$$\sqrt{5\times \frac{2}{11}-1}-\sqrt{3\times \frac{2}{11}-2}=\sqrt{\frac{2}{11}-1}$$

Sustituya 2 por x en la ecuación \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1}.

$$\sqrt{5\times 2-1}-\sqrt{3\times 2-2}=\sqrt{2-1}$$

Simplifica. El valor x=2 satisface la ecuación.

$$1=1$$

La ecuación \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1} tiene una solución única.

$$x=2$$