Solucionar sqrt{4y+20}-sqrt{y-4}=6

$$\sqrt { 4 y + 20 } - \sqrt { y - 4 } = 6$$

Resolver para y

$$y=20$$

$$y=4$$

Pasos de la solución

Resta -\sqrt{y-4} en los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{4y+20}=6+\sqrt{y-4}$$

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(\sqrt{4y+20}\right)^{2}=\left(6+\sqrt{y-4}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{4y+20} a la potencia de 2 y obtiene 4y+20.

$$4y+20=\left(6+\sqrt{y-4}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(6+\sqrt{y-4}\right)^{2}.

$$4y+20=36+12\sqrt{y-4}+\left(\sqrt{y-4}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{y-4} a la potencia de 2 y obtiene y-4.

$$4y+20=36+12\sqrt{y-4}+y-4$$

Resta 4 de 36 para obtener 32.

$$4y+20=32+12\sqrt{y-4}+y$$

Resta 32+y en los dos lados de la ecuación.

$$4y+20-\left(32+y\right)=12\sqrt{y-4}$$

Para calcular el opuesto de 32+y, calcule el opuesto de cada término.

$$4y+20-32-y=12\sqrt{y-4}$$

Resta 32 de 20 para obtener -12.

$$4y-12-y=12\sqrt{y-4}$$

Combina 4y y -y para obtener 3y.

$$3y-12=12\sqrt{y-4}$$

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(3y-12\right)^{2}=\left(12\sqrt{y-4}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(3y-12\right)^{2}.

$$9y^{2}-72y+144=\left(12\sqrt{y-4}\right)^{2}$$

Expande \left(12\sqrt{y-4}\right)^{2}.

$$9y^{2}-72y+144=12^{2}\left(\sqrt{y-4}\right)^{2}$$

Calcula 12 a la potencia de 2 y obtiene 144.

$$9y^{2}-72y+144=144\left(\sqrt{y-4}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{y-4} a la potencia de 2 y obtiene y-4.

$$9y^{2}-72y+144=144\left(y-4\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 144 por y-4.

$$9y^{2}-72y+144=144y-576$$

Resta 144y en los dos lados.

$$9y^{2}-72y+144-144y=-576$$

Combina -72y y -144y para obtener -216y.

$$9y^{2}-216y+144=-576$$

Agrega 576 a ambos lados.

$$9y^{2}-216y+144+576=0$$

Suma 144 y 576 para obtener 720.

$$9y^{2}-216y+720=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace 9 por a, -216 por b y 720 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-216\right)±\sqrt{\left(-216\right)^{2}-4\times 9\times 720}}{2\times 9}$$

Obtiene el cuadrado de -216.

$$y=\frac{-\left(-216\right)±\sqrt{46656-4\times 9\times 720}}{2\times 9}$$

Multiplica -4 por 9.

$$y=\frac{-\left(-216\right)±\sqrt{46656-36\times 720}}{2\times 9}$$

Multiplica -36 por 720.

$$y=\frac{-\left(-216\right)±\sqrt{46656-25920}}{2\times 9}$$

Suma 46656 y -25920.

$$y=\frac{-\left(-216\right)±\sqrt{20736}}{2\times 9}$$

Toma la raíz cuadrada de 20736.

$$y=\frac{-\left(-216\right)±144}{2\times 9}$$

El opuesto de -216 es 216.

$$y=\frac{216±144}{2\times 9}$$

Multiplica 2 por 9.

$$y=\frac{216±144}{18}$$

Ahora, resuelva la ecuación y=\frac{216±144}{18} dónde ± es más. Suma 216 y 144.

$$y=\frac{360}{18}$$

Divide 360 por 18.

$$y=20$$

Ahora, resuelva la ecuación y=\frac{216±144}{18} dónde ± es menos. Resta 144 de 216.

$$y=\frac{72}{18}$$

Divide 72 por 18.

$$y=4$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$y=20 y=4$$

Sustituya 20 por y en la ecuación \sqrt{4y+20}-\sqrt{y-4}=6.

$$\sqrt{4\times 20+20}-\sqrt{20-4}=6$$

Simplifica. El valor y=20 satisface la ecuación.

$$6=6$$

Sustituya 4 por y en la ecuación \sqrt{4y+20}-\sqrt{y-4}=6.

$$\sqrt{4\times 4+20}-\sqrt{4-4}=6$$

Simplifica. El valor y=4 satisface la ecuación.

$$6=6$$

Enumere todas las soluciones de \sqrt{4y+20}=\sqrt{y-4}+6.

$$y=20 y=4$$