Solucionar sqrt{25-x^2}-sqrt{15+x^2}=4

$$\sqrt { 25 - x ^ { 2 } } - \sqrt { 15 + x ^ { 2 } } = 4$$

Resolver para x (solución compleja)

$$x=-\sqrt{11}i\approx -0-3,31662479i$$

$$x=\sqrt{11}i\approx 3,31662479i$$

Pasos de la solución

Resta -\sqrt{15+x^{2}} en los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{25-x^{2}}=4+\sqrt{15+x^{2}}$$

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(\sqrt{25-x^{2}}\right)^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{25-x^{2}} a la potencia de 2 y obtiene 25-x^{2}.

$$25-x^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{15+x^{2}} a la potencia de 2 y obtiene 15+x^{2}.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+15+x^{2}$$

Suma 16 y 15 para obtener 31.

$$25-x^{2}=31+8\sqrt{15+x^{2}}+x^{2}$$

Resta 31+x^{2} en los dos lados de la ecuación.

$$25-x^{2}-\left(31+x^{2}\right)=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Para calcular el opuesto de 31+x^{2}, calcule el opuesto de cada término.

$$25-x^{2}-31-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Resta 31 de 25 para obtener -6.

$$-6-x^{2}-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Combina -x^{2} y -x^{2} para obtener -2x^{2}.

$$-6-2x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(-6-2x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(-6-2x^{2}\right)^{2}.

$$36+24x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Para elevar una potencia a otra potencia, multiplique los exponentes. Multiplique 2 y 2 para obtener 4.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Expande \left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=8^{2}\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Calcula 8 a la potencia de 2 y obtiene 64.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{15+x^{2}} a la potencia de 2 y obtiene 15+x^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(15+x^{2}\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 64 por 15+x^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=960+64x^{2}$$

Resta 960 en los dos lados.

$$36+24x^{2}+4x^{4}-960=64x^{2}$$

Resta 960 de 36 para obtener -924.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}=64x^{2}$$

Resta 64x^{2} en los dos lados.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}-64x^{2}=0$$

Combina 24x^{2} y -64x^{2} para obtener -40x^{2}.

$$-924-40x^{2}+4x^{4}=0$$

Sustituir t por x^{2}.

$$4t^{2}-40t-924=0$$

Todas las ecuaciones del formulario ax^{2}+bx+c=0 pueden resolverse mediante la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sustituya 4 por a, -40 por b y -924 por c en la fórmula cuadrática.

$$t=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 4\left(-924\right)}}{2\times 4}$$

Haga los cálculos.

$$t=\frac{40±128}{8}$$

Resuelva la ecuación t=\frac{40±128}{8} cuando ± sea más y cuando ± sea menos.

$$t=21 t=-11$$

Dado que x=t^{2}, las soluciones se obtienen evaluando x=±\sqrt{t} para cada t.

$$x=-\sqrt{21} x=\sqrt{21} x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$

Sustituya -\sqrt{21} por x en la ecuación \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Simplifica. El valor x=-\sqrt{21} no cumple la ecuación porque la parte izquierda y la derecha tienen signos opuestos.

$$-4=4$$

Sustituya \sqrt{21} por x en la ecuación \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Simplifica. El valor x=\sqrt{21} no cumple la ecuación porque la parte izquierda y la derecha tienen signos opuestos.

$$-4=4$$

Sustituya -\sqrt{11}i por x en la ecuación \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Simplifica. El valor x=-\sqrt{11}i satisface la ecuación.

$$4=4$$

Sustituya \sqrt{11}i por x en la ecuación \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Simplifica. El valor x=\sqrt{11}i satisface la ecuación.

$$4=4$$

Enumere todas las soluciones de \sqrt{25-x^{2}}=\sqrt{x^{2}+15}+4.

$$x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$